Udowodnij, że ... Jak?

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
kaszkaj2809
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 27 maja 2018, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Udowodnij, że ... Jak?

Post autor: kaszkaj2809 »

Witam, piszę prosząc o pomoc. Zadanie jest z tematu o Twierdzeniu Talesa, a ja nie do końca ogarniam je na bardziej złożonych rzeczach, więc szukam kogoś kto wytłumaczyłby jak udowodnić poniższe zadanie:

W pięciokącie wypukłym ABCDE środkami boków AB, BC, CD i DE są punkty P, Q, R i S. Środkami odcinków PR i QS są odpowiednio punkty X i Y. Udowodnij, że odcinek XY jest równoległy do boku AE i cztery razy krótszy od tego boku.

Do zadania załączona jest wskazówka, ale niewiele mi mówi:

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/5EMQ9ts


Jeśli zły dział- przepraszam
Z góry dziękuję za poświęcony czas i pomoc
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Udowodnij, że ... Jak?

Post autor: karolex123 »

Zobacz, proszę, że czworokąt \(\displaystyle{ TQRS}\) jest równoległobokiem. Stąd dostaniesz, że punkt \(\displaystyle{ Y}\) jest także środkiem odcinka \(\displaystyle{ TR}\). Zatem \(\displaystyle{ YX}\) jest równoległy do \(\displaystyle{ TP}\), a ponadto \(\displaystyle{ TP=2YX}\). Ale \(\displaystyle{ TP}\) jest równoległe do \(\displaystyle{ AE}\) oraz \(\displaystyle{ AE=2TP}\). Stąd \(\displaystyle{ XY}\) jest równoległy do \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ AE=4XY}\). Wszędzie korzystamy z twierdzenia o linii środkowej trójkąta (które wynika wprost z twierdzenia Talesa)
kaszkaj2809
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 27 maja 2018, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Udowodnij, że ... Jak?

Post autor: kaszkaj2809 »

Wszystko OK, ale nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ TP=2YX}\)
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Udowodnij, że ... Jak?

Post autor: karolex123 »

To wynika stąd, że punkty \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są środkami odpowiednio boków \(\displaystyle{ TR}\) i \(\displaystyle{ PR}\). Reszta to Tales albo wspomniane już przeze mnie twierdzenie o linii środkowej.
kaszkaj2809
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 27 maja 2018, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Re: Udowodnij, że ... Jak?

Post autor: kaszkaj2809 »

Rzeczywiście, nie zauważyłem tego trójkąta. Wielkie dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ