Udowodnić, że istnieje nieskończona ilość nieprzystających do siebie trójkątów:
i) długości ich boków są kolejnymi liczbami naturalnymi
ii) pole jest liczbą całkowitą
Biorąc boki trójkąta \(\displaystyle{ n, \ n+1, \ n+2}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \left\{ 0,1\right\}}\), to pole trójkąta wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{4}(n+1) \sqrt{3(n+3)(n-1)}}\)
Jest ono liczbą naturalną dla liczb postaci: \(\displaystyle{ n=2m-1}\) gdzie m to część wymierna wyrażenia \(\displaystyle{ (2+ \sqrt{3} )^k}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN_+}\), więc jest nieskończenie wiele takich trójkątów.
Kilka pierwszych rozwiązań: \(\displaystyle{ n \in \left\{ 3,13,51,193,723,2701,10083,37633,140451,524173,...\right\}}\)
PS
Możliwe że są inne rodziny rozwiązań, jednak wskazanie tylko powyższej już udowadnia tezę.