Własność trójkątów

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Własność trójkątów

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że istnieje nieskończona ilość nieprzystających do siebie trójkątów:
i) długości ich boków są kolejnymi liczbami naturalnymi
ii) pole jest liczbą całkowitą
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Własność trójkątów

Post autor: kerajs »

Biorąc boki trójkąta \(\displaystyle{ n, \ n+1, \ n+2}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \left\{ 0,1\right\}}\), to pole trójkąta wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{4}(n+1) \sqrt{3(n+3)(n-1)}}\)
Jest ono liczbą naturalną dla liczb postaci: \(\displaystyle{ n=2m-1}\) gdzie m to część wymierna wyrażenia \(\displaystyle{ (2+ \sqrt{3} )^k}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN_+}\), więc jest nieskończenie wiele takich trójkątów.
Kilka pierwszych rozwiązań:
\(\displaystyle{ n \in \left\{ 3,13,51,193,723,2701,10083,37633,140451,524173,...\right\}}\)


PS
Możliwe że są inne rodziny rozwiązań, jednak wskazanie tylko powyższej już udowadnia tezę.
ODPOWIEDZ