Droga jednego obrotu okręgu

[Milo_17]

Dlaczego droga pokonana przez jeden obrót koła jest równa jego obwodowi? Nie jestem w stanie tego łatwo udowodnić Jedyny pomysł jaki mi przychodzi do głowy to skorzystać z równania cykloidy, ale ja aby uzyskać to równanie korzystałem z właśnie z tego że droga obrotu koła jest równa obwodowi. Czy ktoś ma jakiś inny pomysł?

[a4karo]

Sformułowanie "droga pokonana przez jeden obrót koła" jest mocno nieprecyzyjne. Jeden obrót koła nie jest obiektem materialnym, wiec nie może pokonać drogi. Jeżeli natomiast chodzi Ci o drogę, jaka pokona punkt leżący na kole, to oczywiście długość jego drogi jest różna w zależności od jego odległości od środka koła (żeby to stwierdzić wystarczy popatrzeć na wykresy cykloid z różnymi parametrami).
Jedynym punktem, który pokona drogę równą długości obwodu jest środek koła.

[Milo_17]

Rzeczywiście dość chaotycznie napisałem. Chodzi mi dokładnie o drogę, jaką pokona punkt w samym środku okręgu po jego jednym "obrocie". W sensie jakby się toczył po układzie współrzędnych. Dlaczego będzie ona równa obwodowi? Da się udowodnić że jest ona równa obwodowi okręgu bez posilania się równaniem cykloidy? Jeśli nie to czy w takim razie da się uzasadnić równianie cykloidy nie korzystając z tego faktu o drodze pokonanej przez środek okręgu?

[a4karo]

Załóżmy, że na początku koło styka się z prostą w punkcie \(\displaystyle{ P}\), a środek znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Obróćmy koło o jeden obrót - punkt \(\displaystyle{ P}\) znajdzie sie w \(\displaystyle{ P'}\), a \(\displaystyle{ O}\) w \(\displaystyle{ O'}\). Figura \(\displaystyle{ PP'O'O}\) jest prostokątem. Jaki długi jest odcinek \(\displaystyle{ PP'}\)?

[Milo_17]

Jest równy długości odcinka \(\displaystyle{ OO'}\) Dalej tego nie widzę

[a4karo]

Ale jednocześnie jest równa obwodowi koła, bo ruch odbywa się bez poślizgu

Możesz zamiast odcinka rozwinąć sznurek nawiniety na koło