Każda z przekątnych czworokąta dzieli go na 2 trójkąty

[koziol196906]

Każda z przekątnych czworokąta dzieli go na 2 trójkąty o równych polach. Udowodnij, że czworokąt ten jest równoległobokiem.

[kerajs]

Niech przekątne przecinają się pod katem \(\displaystyle{ \alpha}\), a punkt przecięcia dzieli pierwszą z nich na odcinki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\), a drugą na odcinki \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ d}\). Skoro pola trójkątów są równe to:
1)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab\sin \alpha + \frac{1}{2}bc\sin \left( \pi - \alpha\right) = \frac{1}{2}cd\sin \alpha + \frac{1}{2}da\sin \left( \pi - \alpha\right)}\)

\(\displaystyle{ ab+bc=cd+da \\ b=d}\)
2)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab\sin \alpha + \frac{1}{2}ad\sin \left( \pi - \alpha\right) = \frac{1}{2}cd\sin \alpha + \frac{1}{2}bc\sin \left( \pi - \alpha\right)}\)

\(\displaystyle{ ab+ad=cd+bc \\ a=c}\)


Dalej pewnie już potrafisz.

[kruszewski]

Niech \(\displaystyle{ AC}\) będzie jedną z przekątnych czworoboku.
Jeżeli przekątna ta dzieli czworobok na dwa trójkąty o równych polach, to końce drugiej przekątnej muszą przynależeć do prostych równoległych do niej i jednakowo od niej oddalonych. Są to, dwa pozostałe, wierzchołki czworoboku.
Z równości pól trójkątów \(\displaystyle{ \Delta ABC = \Delta BCD}\),
o wysokościach odpowiednio: \(\displaystyle{ |AH|=|CG|}\) dla \(\displaystyle{ \Delta ABD}\) i \(\displaystyle{ \Delta BCD}\)
oraz \(\displaystyle{ |BF|}\) dla \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) i \(\displaystyle{ |DE|}\) dla \(\displaystyle{ \Delta ACD}\)
i równości sum pól trójkątów:
\(\displaystyle{ \Delta ABC = \Delta ABP + \Delta BCP}\) i :
\(\displaystyle{ \Delta BCD=\Delta BCP + \Delta PCD}\), wynikają równości:
\(\displaystyle{ \angle ABG = \angle CPD \\
|BP| = |PD| \\
|AP| = |PC|.}\)
Punkt \(\displaystyle{ P}\) połowi\(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\), oraz \(\displaystyle{ \angle APB = \angle CPD}\), jako wierzchołkowe,
i stąd wniosek, że \(\displaystyle{ A, B, C}\) i \(\displaystyle{ D}\) są wierzchołkami równoległoboku, co widać na rysunku.



W.Kr.