Własność przekątnej kwadratu

[Komunista]

Proszę wykazać, że przekątna kwadratu to zawsze \(\displaystyle{ d\sqrt{2}}\) nie odwołując się przy tym do Twierdzenia Pitagorasa.

[Belf]

\(\displaystyle{ d}\) - bok kwadratu

\(\displaystyle{ x}\) - przekątna.

Z trójkąta prostokatnego mamy: \(\displaystyle{ \frac{d}{x} =\ \sin 45^\circ= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) , zatem:
\(\displaystyle{ x= \frac{2d}{ \sqrt{2} } \Leftrightarrow x=d \sqrt{2}}\)

[kruszewski]

A skąd wynika to, że w kole trygonometrycznym dla kąta \(\displaystyle{ 45^o}\) , \(\displaystyle{ \frac{y}{R} = \sin 45^o = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) ?

[kerajs]

Inaczej:

Na przekątnej \(\displaystyle{ d}\) kwadratu o boku \(\displaystyle{ a}\) budujemy drugi kwadrat ( o boku \(\displaystyle{ d}\)). Rozcinając go wzdłuż jego przekątnych dostaje się cztery trójkąty prostokątne równoramienne z których można ułożyć dwa kwadraty o boku a. Stąd:
\(\displaystyle{ d^2=2a^2 \\
d=a \sqrt{2}}\)

[kruszewski]

Lepiej, bo nie nic nie rozcinamy i ukladamy. Patrzymy, jak kiedyś zalecał Bhaskara.
Zauważamy, że kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku \(\displaystyle{ |AB| = |FH|}\) przekątnej kwadratu \(\displaystyle{ FGHJ}\) ma pole dwukrotnie większe niż pole twego kwadratu .
Zatem kwadrat przekątnej \(\displaystyle{ p=|FH|}\) równy jest podwjonemu kwadratowi boku \(\displaystyle{ a=|FG|}\) kwadratu \(\displaystyle{ FGHJ}\) co napiszemy :
\(\displaystyle{ p^2 = 2a^2 \rightarrow p=a \sqrt{2}}\)