Okręgi styczne

[login1977]

Dany jest okrąg \(\displaystyle{ A}\) o promieniu \(\displaystyle{ r}\) i okręgi styczne zewnętrznie o promieniach \(\displaystyle{ q}\) do okręgu \(\displaystyle{ A}\). Przy czym każde dwa sąsiadujące są styczne także ze sobą. Ile jest możliwości zajścia takiej sytuacji. Podać liczbę okręgów stycznych do wyjściowego okręgu i promień w każdej sytuacji.

Podobne zadanie rozwiązać dla okręgów stycznych wewnętrznie.

[kerajs]

Aby zachodziło założenie o styczności każdych kolejnych dwóch okręgów o promieniu q to musi zachodzić zależność:
a) dla okręgów stycznych zewnętrznie:
\(\displaystyle{ \frac{q}{q+r}=\tg \frac{ 180^{\circ} }{n} \wedge n \in \NN \setminus \left\{ 0,1,2\right\}}\)
b) dla okręgów stycznych wewnętrznie:
\(\displaystyle{ r=2q \wedge n=2}\)
lub
\(\displaystyle{ \frac{q}{r-q}=\tg \frac{ 180^{\circ} }{n} \wedge n \in \NN \setminus \left\{ 0,1,2\right\}}\)

[kruszewski]

Mógłby to Kolega narysować?

[login1977]

Niestety nie umiem jeszcze rysować w LateX-u.-- 21 maja 2018, o 00:36 --Coś jak w zadaniu
432301.htm
tylko styczne do środkowego okręgu.

[kruszewski]

To prośba do Kolegi kerajsa.-- 21 maja 2018, o 01:51 --Wg oznaczeń przyjętych wyżej przez p. kerajsa
\(\displaystyle{ \arcsin \frac{ \alpha }{2} = \frac{q}{q+r}}\)
Stąd \(\displaystyle{ n = \frac{360^o}{ \alpha ^o}}\),
i jest liczbą całkowitą nie zawsze parzystą.

[kerajs]

Mógłby to Kolega narysować?

To taka delikatna uwaga, że coś sknociłem.

Pan Kruszewski już wykazał złe funkcje napisałem. Sorry.

wersja poprawiona:    

Aby zachodziło założenie o styczności każdych kolejnych dwóch okręgów o promieniu q to musi zachodzić zależność:
a) dla okręgów stycznych zewnętrznie:
\(\displaystyle{ \frac{q}{q+r}=\sin \frac{ 180^{\circ} }{n} \wedge n \in \NN \setminus \left\{ 0,1,2\right\}}\)
b) dla okręgów stycznych wewnętrznie:
\(\displaystyle{ \frac{q}{r-q}=\sin \frac{ 180^{\circ} }{n} \wedge n \in \NN \setminus \left\{ 0,1\right\}}\)

Jeśli ostatni okrąg nie musi być styczny z pierwszym o takim samym okręgu to ich największa ilość wynosi:
a) dla okręgów stycznych zewnętrznie:
\(\displaystyle{ n=\lfloor \frac{ \pi }{\arcsin \frac{q}{r+q}} \rfloor \wedge n \in \NN \setminus \left\{ 0,1,2\right\}}\)
b) dla okręgów stycznych wewnętrznie:
\(\displaystyle{ n=\lfloor \frac{ \pi }{\arcsin \frac{q}{r-q}} \rfloor \wedge n \in \NN \setminus \left\{ 0,1\right\}}\)

PS
Grafikę zamieszczę wieczorem, choć nie sądzę aby była potrzebna.

[kruszewski]

Dla mnie nie, ale dla innych może być dobrą ilustracją.
Ilość małych okręgów należy obliczać ze stosunku odnoszonego do \(\displaystyle{ 2 \pi}\) lub \(\displaystyle{ 360^o}\) bowiem ich liczba nie musi być zawsze parzysta,jak by wynikało z podwojenia ilości obliczonej względem dużego półokręgu.
Pozdrawiam,
W.Kr.

[login1977]

Liczbę okręgów stycznych do wyjściowego okręgu \(\displaystyle{ A}\) przy zmieniających się ich promieniach \(\displaystyle{ q}\) ustawić rosnąco w ciąg i wypisać wyrazy tego ciągu.

-- 21 maja 2018, o 16:16 --

Co można ciekawego powiedzieć o tym ciągu w przypadku okręgów stycznych zewnętrznie jak i wewnętrznie?

-- 24 maja 2018, o 11:48 --

Co można powiedzieć o sumie pól kół opisanych na wyjściowym okręgu?

-- 25 maja 2018, o 10:31 --

Podobnie rozważyć sfery styczne do danej sfery.-- 25 maja 2018, o 12:45 --Wokół jej powierzchni.

[login1977]

Jeśli ktoś potrafi pewnie można rozwiązywać takie zadanie w \(\displaystyle{ n}\) wymiarach.

[kruszewski]

Model z którymi okręgami wybieramy?
O styczności wzajemnej kół do siebie i prostej (ciąg Fareya, Koła Forda) można przeczytać w:
Conway J.H. , Guy R.K. Księga liczb, WNT W-wa, 1999

[login1977]

Jeżeli traktujemy okrąg \(\displaystyle{ 1}\)jako wyjściowy to styczne do niego miałem na myśli okręgi o jednakowym promieniu i każdy styczny do \(\displaystyle{ 1}\). Z tego rysunku spełniają ten warunek tylko chyba okręgi \(\displaystyle{ 2, 3, 4, 5}\).

-- 18 cze 2018, o 08:25 --

Przy czym pierwszy okrąg o promieniu \(\displaystyle{ q}\) styczny do wyjściowego ma być styczny także do sąsiedniego stycznego do\(\displaystyle{ 1}\) z jednej strony także do sąsiedniego stycznego do\(\displaystyle{ 1}\) z drugiej czyli do ostatniego.-- 18 cze 2018, o 08:46 --Podkreślam że wszystkie okręgi muszą być styczne do wyjściowego i muszą mieć jednakowy promień.

[login1977]

Ze sferami jednak nie da się tego zrobić.