Okręgi na okręgu

[TLSNBB]

Dzień dobry!

Jak poprawnie i bez stresu obliczyć ile okręgów zmieści się na okręgu?

Duży okrąg ma 46cm - małe mają 11cm. Duży okrąg powinien przecinać małe okręgi mniej-więcej w połowie (każdy z nich).

Jest na to jakiś precyzyjny wzór?

Chodzi o coś takiego:

Pozdrawiam!

[Dickens]

Prosty sposób dający odpowiedź w pewnym przybliżeniu.

Zakładając, że środki małych okręgów znajdują się na dużym okręgu wystarczy policzyć obwód większego i podzielić przez średnice małego.

\(\displaystyle{ O_1 = 2\cdot \pi \cdot 46 \approx 289}\)

\(\displaystyle{ d_2 = 22}\)

\(\displaystyle{ L=\frac{O_1}{d_2} \approx 13}\)

Oczywiście dla podanych wymiarów ta metoda generuje bardzo duży błąd, ale wraz ze wzrostem wielkości dużego okręgu (mniejszy promień krzywizny) i spadkiem wielkości małych okręgów dokładność rośnie.

[PokEmil]

Jeśli chodzi o dokładniejszy wynik:
Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie promieniem większego okręgu, a \(\displaystyle{ r}\) promieniami małych.
Narysujmy promienie większego okręgu wychodzące ze środka, tak, że ich końcami są punkty styczności małego okręgu z większym. Niech kąt pomiędzy tymi promieniami wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\). Odległość między punktami styczności okręgów jest średnicą małego okręgu, więc jest równa \(\displaystyle{ \red 2r}\). Z twierdzenia cosinusów: \(\displaystyle{ (2r)^{2} = R^{2} + R^{2} - 2R^{2} \cdot \cos \alpha = 2R^{2} (1 - \cos \alpha)}\). Stąd \(\displaystyle{ \frac {4r^{2}}{2R^{2}} = 1- \cos \alpha}\), czyli \(\displaystyle{ \cos \alpha =1 - \frac {2r^{2}}{R^{2}}}\). Mniejszych okręgów zmieści się \(\displaystyle{ \frac {2 \pi}{\alpha}}\) (i oczywiście należy później zaokrąglić w dół do jedności, bo liczba kół musi być całkowita).
W naszym przypadku, \(\displaystyle{ \cos \alpha = 1 - \frac {242}{2116} \approx 0,88563327}\), a stąd patrząc na tablice trygonometryczne (lub bardziej zaawansowane narzędzia) możemy wywnioskować, że \(\displaystyle{ \alpha \approx 0,48294}\) (w radianach). Stąd liczba kół wynosi \(\displaystyle{ \frac {2 \pi}{\alpha} \approx \frac {6,2831853}{0,48294} \approx 13,0102814 \approx 13}\).

EDIT: Jednak pan Kruszewski ma rację, tekst podkreślony na czerwono jest nieprawdziwy. Można to wziąć jedynie za przybliżenie (co widać na rysunku p. Kruszewskiego).

[kruszewski]

Zauważamy, że:

\(\displaystyle{ \alpha = \arcsin \frac{r}{R}}\)

zatem ilość \(\displaystyle{ k}\) okręgów o promieniu \(\displaystyle{ r}\) stycznych do siebie i rozmieszczonych na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ R}\) jest nie większa niż:

\(\displaystyle{ k \le \frac{360^o}{2 \alpha }}\), a \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N_+}}\)

[TLSNBB]

Szanowni!

Dziękuję serdecznie za odpowiedzi. Jestem jednak matematycznym laikiem - bardzo proszę o wytłumaczenie, krok po kroku, jak to ugryźć.

A teraz powiem, jaki problem mnie trapi. Chcę zrobić palenisko grilla.
Mam ruszt (oczywiście okrągły) i tenże ruszt chcę oprzeć na palisadzie o średnicy \(\displaystyle{ 11\:cm}\).
Ile palików potrzebuję?

Jutro podam dokładną średnicę rusztu - \(\displaystyle{ 46}\) wyssałem z palca, chociaż rozumiem, że matematyka jako królowa nauk może podstawić we wzorze dowolną wartość.

Obiecuję także, że prześlę zdjęcia gotowego paleniska, wykonanego zgodnie z podanymi obliczeniami.

Pozdrawiam!

[a4karo]

Coś jednak musisz wiedzieć. Np średnicę grilla. Jak jesteś laikiem, to nie męcz się ze skomplikowanymi wzorami: wytnij z papieru kilkanaście kółek o średnicy 11cm i rozłóż na trawniku tak, aby utworzyły koło o odpowiadającej Ci średnicy.
Metoda ma tę zaletę, że działa nie tylko dla grilli okrągłych, ale równie dla innych kształtów.

[TLSNBB]

Szanowni,

serdecznie dziękuję za odpowiedzi. Wzory spowodowały u mnie traumę:D

Rusztko grilla ma dokładnie 59 cm. Rozumiem, że zgodnie z 1 wzorem potrzebuję 16/17 palisad w zależności jak osadzę ruszt na palisadzie?

Dzięki!