W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkty \(\displaystyle{ D}\), \(\displaystyle{ E}\) leżą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) tak, że \(\displaystyle{ |AD|:|DB| = 1:2}\) oraz \(\displaystyle{ |AE|:|EC| = 2:1}\). Wyznacz jaką część pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) stanowi pole czworokąta \(\displaystyle{ ADFE}\).
F to punkt przecięcia \(\displaystyle{ |CD|}\) oraz \(\displaystyle{ |BE|}\)
Zadanie potrafię zrobić, jednak innym sposobem niż jest w modelu, toteż wziąłem się za jego analizę, a tam jest napisane, że:
Zauważenie, że \(\displaystyle{ P_{CFB} = 2 \cdot P_{AFC}}\)
Dostałem zaćmienia umysłu... skąd to wynika?
Ostatnio zmieniony 6 maja 2018, o 12:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Symbol mnożenia to \cdot.
Niech prosta \(\displaystyle{ k}\) będzie prostopadła do \(\displaystyle{ CD}\) oraz \(\displaystyle{ C \in k}\). Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ A}\) na prostą \(\displaystyle{ k}\), a punkt \(\displaystyle{ Q}\) niech będzie rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ k}\). Trapezy \(\displaystyle{ APCD}\) i \(\displaystyle{ ABQP}\) są podobne w skali \(\displaystyle{ \frac {|AD|} {|AB|} = \frac {1}{3}}\), więc \(\displaystyle{ |PC| = 2|CQ|}\). Odcinki te są wysokościami odpowiednio trójkątów \(\displaystyle{ AFC}\) i \(\displaystyle{ CFB}\).
