Przejście w działaniach na wektorach

[VirtualUser]

Witam, mam takie zadanie:

W ostrosłupie \(\displaystyle{ ABCD}\) krawędzie \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) są wzajemnie prostopadłe. Udowodnij, że wówczas:

\(\displaystyle{ |AB|^2 + |CD|^2 = |AC|^2 + |BD|^2}\)

Przekształcam równoważnie tezę i dochodzę do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \vec{AD} ( \vec{BA} - \vec{CA})=0}\)

domyślam się, że powinienem tutaj jakoś skorzystać z założenia bo wcześniej tego nie zrobiłem, ale jak? Mógłby ktoś zdradzić co tu zrobić i dlaczego?

[kerajs]

dochodzę do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \vec{AD} ( \vec{BA} - \vec{CA})=0}\)

domyślam się, że powinienem tutaj jakoś skorzystać z założenia bo wcześniej tego nie zrobiłem, ale jak?

\(\displaystyle{ \vec{AD}\circ ( \vec{BA} + \vec{AC})=0}\)
\(\displaystyle{ \left( \vec{AD}\circ \vec{BC} =0 \right) \Rightarrow \left( \vec{AD}\perp \vec{BC}\right)}\)
Problemem w Twoim dowodzie jest wykazanie prawdziwości założenia dzięki przyjęciu tezy za prawdziwą. Sugeruję przepisanie wszystkich przekształceń w odwrotnej kolejności, a wtedy z założenia (o prostopadłości dwóch rozłącznych krawędzi) wykażesz prawdziwość tezy.

PS
Zadanie można zrobić inaczej. Np: stosując wyłącznie tw. Pitagorasa.

[VirtualUser]

Dlaczego przyjmuję tezę za prawdziwą? Jeśli moim celem jest dojście do \(\displaystyle{ 0=0}\) to nie naginam żadnych zasad.

[Jan Kraszewski]

Dopóki przekształcasz tezę równoważnie (i uzasadniasz równoważność tych przekształceń!), to istotnie nie naginasz żadnych zasad poza zasadami estetyki dowodu.

Pozostaje pytanie, czy istotnie przekształcasz równoważnie i czy uzasadniasz to... Bo jak zaczynasz od tezy, to wystarczy jedno niedokładne sformułowanie w dowodzie, sugerujące wnioskowanie zamiast przejścia równoważnego i dowód leży.

JK