Warunek dla którego pole trójkąta jest równe k^2

[deciver]

Treść: Poprowadzić prostą równoległą do boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), przecinającą bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\), zaś bok \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\) tak, aby pole trójkąta \(\displaystyle{ BDE}\) było równe \(\displaystyle{ k^{2}}\). Przy jakim warunku dla \(\displaystyle{ k^{2}}\) zadanie posiada rozwiązanie i ile jest tych rozwiązań, jeżeli pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest równe \(\displaystyle{ S}\)?

Druga cześć jest trywialna tylko pierw trzeba uzależnić jakoś pole \(\displaystyle{ BDE}\) i później wyróżnik trójmianu.

[Dilectus]

Co to jest \(\displaystyle{ k}\)?

[deciver]

parametr

[kruszewski]

Np.

Jeżeli pole trójkąta \(\displaystyle{ \Delta BDE = k^2}\) to równe jest polu kwadratu \(\displaystyle{ DBFG}\) o boku \(\displaystyle{ BD = k \sqrt{2}}\).
Stąd wyprowadzamy wnioski, że
1. \(\displaystyle{ AB = 2DB = 2 \sqrt{2} k}\)

2. \(\displaystyle{ DB= h}\) jest połową wysokości trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)o wysokości równej jego podstawie\(\displaystyle{ AB = 2 \sqrt{2} k}\)

3. Wierzchołek \(\displaystyle{ E}\) trójkąta \(\displaystyle{ \Delta BDE}\) połowi ramię trójkąta \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)

4. Pole trójkąta \(\displaystyle{ \Delta BDE}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) pola \(\displaystyle{ S}\) trójkąta \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)

5. .............

[deciver]

Skąd wiemy, czy to jest jedyne rozwiązanie tego zadania?

[kruszewski]

Nie napisałem że jest jedyne, ale myślę że najprostsze.

[deciver]

Niestety to jeszcze nie kończy zadania. Trzeba jeszcze odpowiedzieć na pytanie ile jest rozwiązań?

[kruszewski]

Podpowiem szkicem:


i uwagą, o całkowitej liczbie jednakowych trójkątów na które można podzielić trójkąt \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) oraz równoległobok o podstawie trójkąta którego pole jest równe \(\displaystyle{ k^2}\)