Warunek dla którego pole trójkąta jest równe k^2
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 7 maja 2014, o 16:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
Warunek dla którego pole trójkąta jest równe k^2
Treść: Poprowadzić prostą równoległą do boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), przecinającą bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\), zaś bok \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\) tak, aby pole trójkąta \(\displaystyle{ BDE}\) było równe \(\displaystyle{ k^{2}}\). Przy jakim warunku dla \(\displaystyle{ k^{2}}\) zadanie posiada rozwiązanie i ile jest tych rozwiązań, jeżeli pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest równe \(\displaystyle{ S}\)?
Druga cześć jest trywialna tylko pierw trzeba uzależnić jakoś pole \(\displaystyle{ BDE}\) i później wyróżnik trójmianu.
Druga cześć jest trywialna tylko pierw trzeba uzależnić jakoś pole \(\displaystyle{ BDE}\) i później wyróżnik trójmianu.
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2018, o 14:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Warunek dla którego pole trójkąta jest równe k^2
Np.
Jeżeli pole trójkąta \(\displaystyle{ \Delta BDE = k^2}\) to równe jest polu kwadratu \(\displaystyle{ DBFG}\) o boku \(\displaystyle{ BD = k \sqrt{2}}\).
Stąd wyprowadzamy wnioski, że
1. \(\displaystyle{ AB = 2DB = 2 \sqrt{2} k}\)
2. \(\displaystyle{ DB= h}\) jest połową wysokości trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)o wysokości równej jego podstawie\(\displaystyle{ AB = 2 \sqrt{2} k}\)
3. Wierzchołek \(\displaystyle{ E}\) trójkąta \(\displaystyle{ \Delta BDE}\) połowi ramię trójkąta \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)
4. Pole trójkąta \(\displaystyle{ \Delta BDE}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) pola \(\displaystyle{ S}\) trójkąta \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)
5. .............
Jeżeli pole trójkąta \(\displaystyle{ \Delta BDE = k^2}\) to równe jest polu kwadratu \(\displaystyle{ DBFG}\) o boku \(\displaystyle{ BD = k \sqrt{2}}\).
Stąd wyprowadzamy wnioski, że
1. \(\displaystyle{ AB = 2DB = 2 \sqrt{2} k}\)
2. \(\displaystyle{ DB= h}\) jest połową wysokości trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)o wysokości równej jego podstawie\(\displaystyle{ AB = 2 \sqrt{2} k}\)
3. Wierzchołek \(\displaystyle{ E}\) trójkąta \(\displaystyle{ \Delta BDE}\) połowi ramię trójkąta \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)
4. Pole trójkąta \(\displaystyle{ \Delta BDE}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) pola \(\displaystyle{ S}\) trójkąta \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)
5. .............
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 7 maja 2014, o 16:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
Re: Warunek dla którego pole trójkąta jest równe k^2
Skąd wiemy, czy to jest jedyne rozwiązanie tego zadania?
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Warunek dla którego pole trójkąta jest równe k^2
Nie napisałem że jest jedyne, ale myślę że najprostsze.
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 7 maja 2014, o 16:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
Re: Warunek dla którego pole trójkąta jest równe k^2
Niestety to jeszcze nie kończy zadania. Trzeba jeszcze odpowiedzieć na pytanie ile jest rozwiązań?
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Warunek dla którego pole trójkąta jest równe k^2
Podpowiem szkicem:
i uwagą, o całkowitej liczbie jednakowych trójkątów na które można podzielić trójkąt \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) oraz równoległobok o podstawie trójkąta którego pole jest równe \(\displaystyle{ k^2}\)
i uwagą, o całkowitej liczbie jednakowych trójkątów na które można podzielić trójkąt \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) oraz równoległobok o podstawie trójkąta którego pole jest równe \(\displaystyle{ k^2}\)