Długość odcinka

[klimat]

Dany jest okrąg \(\displaystyle{ \mathcal O}\) o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\). Punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) leżą na \(\displaystyle{ \mathcal O}\) oraz \(\displaystyle{ AC\perp BD}\). Pokaz że jeśli \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ E}\) oraz \(\displaystyle{ OE=1}\), to \(\displaystyle{ CD \ge 1.}\)

[janusz47]

Wykonujemy rysunek.

Łączymy punkt \(\displaystyle{ B}\) z punktem \(\displaystyle{ C}\) lub \(\displaystyle{ A}\)

Rozpatrujemy trójkąt \(\displaystyle{ BCD}\) ( tok rozumowania dla trójkąta BAD jest taki sam).

Trójkąt \(\displaystyle{ BCD}\) jest trójkątem prostokątnym, (kąt \(\displaystyle{ BCD}\)jest kątem prostym - opartym na średnicy)

Z twierdzenia o wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną tego trójkąta:

\(\displaystyle{ |CE|^2 = |BE|\cdot |ED|.}\)

\(\displaystyle{ |CE|^2 = (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = 5 - 1 = 4.}\)

\(\displaystyle{ |CE| = \sqrt{4}= 2.}\)

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ CED:}\)

\(\displaystyle{ |CD|^2 = |CE|^2 + |DE|^2.}\)


\(\displaystyle{ |CD|^2 = (\sqrt{5}+1)^2 + 2^2 = 5 +2\sqrt{5} + 1 +4 = 10 +2\sqrt{5}= 2( 5+\sqrt{5}).}\)

\(\displaystyle{ |CD| = \sqrt {2(5 +\sqrt{5})}\geq 1 .}\)

Co mieliśmy pokazać.

[kruszewski]

janusz47 pisze: "Trójkąt \(\displaystyle{ BCD}\) jest trójkątem prostokątnym, (kąt\(\displaystyle{ BCD}\) jest kątem prostym - opartym na średnicy)"
można pokazać, że nie zawsze tak jest.
Np. :


-- 13 kwi 2018, o 19:21 --

Jeżeli przyjąć oznaczenia jak na rysunku,

to posługując się tw. Talesa z Miletu można napisać:

\(\displaystyle{ \frac{|DO|}{|GO|} = \frac{|DH|}{|GH|}= \frac{|OH|}{|OK|}}\) ....... (1)

\(\displaystyle{ |GO| < |KG| +|KO|}\) ...............(2)

\(\displaystyle{ 1 < \frac{|DH| \cdot 1}{|DO| \cdot \sqrt{5} }+ \frac{|OH| \cdot 1}{|DO| \cdot \sqrt{5} }}\) ...... (3)
\(\displaystyle{ 1< \frac{ \sqrt{5} }{5} \left(|DH| + |OH| \right)}\) ............ (4)
Zauważamy, że: \(\displaystyle{ |R| < (|DH| + |OH|)}\)
a to oznacza, że: \(\displaystyle{ \sqrt{5} < (|DH| + |OH|)}\) ..............(5)

zauważmy też, że : \(\displaystyle{ (|DH| + |OH|)= \sqrt{5} + \delta}\) .......(6)

mnożąc obie strony (4) przez odwrotność ułamka i pozbywając się jego niewymierności otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1 \cdot \frac{5}{ \sqrt{5} }< (|DH|+|OH|)}\) .......(7)

a to oznacza, że: \(\displaystyle{ (|DH|= \frac{1}{2} |DC|) > \sqrt{5}>1}\) ........(8)

zatem \(\displaystyle{ |DC| >1}\), co należało pokazać.

-- 15 kwi 2018, o 04:00 --

Cały dowód, bardzo prosty, pomieszczam poniżej:

Zauważmy, że kąt

\(\displaystyle{ \pi > \alpha > \frac{ \pi }{6}}\) ...................(1)

\(\displaystyle{ 2r> |GF|>r}\)........................(2)

\(\displaystyle{ \frac{|DC|}{|GF|} = \frac{R}{r}}\) .......................(3)

\(\displaystyle{ |DC| = \sqrt{5}|GF|}\)............................(4)

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}> |DC| > \sqrt{5}>1}\) ....................(5)

\(\displaystyle{ |DC| > 1}\) ................(6)

cbdo

[a4karo]

\(\displaystyle{ |CD|^2=|EC|^2+|ED|^2}\)

W trójkącie \(\displaystyle{ EOC}\) z twierdzenia kosinusów \(\displaystyle{ |EC|^2=|OE|^2+|OC|^2-2|OE|\cdot|OC|\cos \angle EOC\geq 6-2\sqrt5}\)
Z tych samych powodów \(\displaystyle{ |ED|^2\geq 6-2\sqrt5}\)
Zatem
\(\displaystyle{ |CD|^2\geq 2(6-2\sqrt5)>1}\)-- 15 kwi 2018, o 06:53 --

Wykonujemy rysunek.

Łączymy punkt \(\displaystyle{ B}\) z punktem \(\displaystyle{ C}\) lub \(\displaystyle{ A}\)

Rozpatrujemy trójkąt \(\displaystyle{ BCD}\) ( tok rozumowania dla trójkąta BAD jest taki sam).

Trójkąt \(\displaystyle{ BCD}\) jest trójkątem prostokątnym, (kąt \(\displaystyle{ BCD}\)jest kątem prostym - opartym na średnicy)

Z twierdzenia o wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną tego trójkąta:

\(\displaystyle{ |CE|^2 = |BE|\cdot |ED|.}\)

\(\displaystyle{ |CE|^2 = (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = 5 - 1 = 4.}\)

\(\displaystyle{ |CE| = \sqrt{4}= 2.}\)

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ CED:}\)

\(\displaystyle{ |CD|^2 = |CE|^2 + |DE|^2.}\)


\(\displaystyle{ |CD|^2 = (\sqrt{5}+1)^2 + 2^2 = 5 +2\sqrt{5} + 1 +4 = 10 +2\sqrt{5}= 2( 5+\sqrt{5}).}\)

\(\displaystyle{ |CD| = \sqrt {2(5 +\sqrt{5})}\geq 1 .}\)

Co mieliśmy pokazać.

To "rozwiązanie" niestety nie trzyma się kupy: Jeżeli \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) są prostopadłymi średnicami, to \(\displaystyle{ CD}\) jest bokiem kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt5}\), ma zatem długość \(\displaystyle{ \sqrt{10}< \sqrt {2(5 +\sqrt{5})}}\)