Obliczyć boki trójkąta prostokątnego na podstawie promieni

[kubical122]

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym na promień o długości 5, okrąg wpisany w ten trójkąt ma promień równy 2, oblicz długości boków.

[janusz47]

Rysunek trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu długości \(\displaystyle{ R =5.}\)

Długość przeciwprostokątnej trójkąta:

\(\displaystyle{ c = 2R = 2\cdot 5 = 10.}\)

Rysunek trójkąta prostokątnego opisanego na okręgu o promieniu długości \(\displaystyle{ r =2.}\)

Z twierdzenia o równości stycznych, poprowadzonych z punktu \(\displaystyle{ P}\) do okręgu, otrzymujemy równania na długość przyprostokątnych trójkąta prostokątnego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = y+ 2 \\ b = 2 +10 - y = 12 - y \end{cases}}\) (1)

Z twierdzenia Pitagorasa:

\(\displaystyle{ a^2 +b^2 = c^2,}\)

\(\displaystyle{ (y+2)^2 +(12 - y)^2 = 10^2}\) (2)

Proszę rozwiązać równanie kwadratowe (2), obliczając długość odcinka \(\displaystyle{ y> 0}\)

i podstawić do układu równań (1).

Odpowiedź: \(\displaystyle{ y = 4, \ \ a = 6, \ \ b = 8, \ \ c = 10.}\)