Okrąg długość odcinka

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
klimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tu
Podziękował: 42 razy

Okrąg długość odcinka

Post autor: klimat »

Niech \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) będą punktami na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 10}\) , i niech \(\displaystyle{ M}\) będzie punktem na \(\displaystyle{ PQ}\) , tak aby \(\displaystyle{ PM=5}\) i \(\displaystyle{ QM=10}\) . Niech \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) będą punktami na okręgu tak, że cięciwy \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ M}\) . Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przecięciem \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ PQ}\) , a \(\displaystyle{ Y}\) niech będzie przecięciem \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ PQ}\) . Oblicz długość \(\displaystyle{ YM}\) , jeśli \(\displaystyle{ XM=3}\) .
Ostatnio zmieniony 26 mar 2018, o 12:10 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Re: Okrąg długość odcinka

Post autor: bakala12 »

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_theorem


To nie jest dokładnie to twierdzenie (twierdzenie o motylku), Twoje jest nieco ogólniejsze, ale dowód jest niemal identyczny. Dowód jest ładnie rozpisany, dochodzisz do równości:

\(\displaystyle{ \left(\frac{MX}{MY}\right)^{2} = \frac{\left(PM-MX\right)\left(QM+MX\right)}{\left(PM-MY\right)\left(QM+MY\right)}}\)

Niech \(\displaystyle{ MY = y}\), wstawiamy wszystko (bo resztę mamy daną) i dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{9}{y^2} = \frac{2 \cdot 13}{\left(5+y\right)\left(10-y\right)}}\)

Liczę, że z tym sobie już poradzisz. W razie pytań, wątpliwości co do przejść w dowodzie pisz, będę wyjaśniał. Wychodzi \(\displaystyle{ y=4\frac{2}{7}}\) o ile się nie walnąłem w rachunkach
ODPOWIEDZ