Dowodzenie równości przekątnych

[deciver]

Wykaż, że jeżeli odcinki łączące środki przeciwleglych boków czworokąta są prostopadłe, to przekątne tego czworokąta mają równe długości.

Wg. mojej intuicji ten czworokąt musi być co najmniej trapezem równoramiennym, wówczas przekątne dzielą trapez na dwie pary przystających czworokątów i już, ale nie jestem przekonany do swojego rozwiązania.

[kruszewski]

Jeżeli zauważymy, że jedna z tych prostych jest osią symetrii figury, to stąd wywnioskujemy, że druga przekątna powstaje z obrotu pierwszej względem tej prostej.

[deciver]

Wówczas taki tylko pisemny dowód wystarcza? Ewentualnie można dodać do tego rysunek zawierający oś symetrii, tak?

Jeszcze jest taki dowód algebraiczny.

Wpiszmy czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) na płaszczyznę kartezjańską.
\(\displaystyle{ A=(0,0), B=(2b,0), C=(2c _{1},2c_{2}), D=(2d_{1},2d_{2})}\)
\(\displaystyle{ K= \frac{A+B}{2}=(b,0)}\)
\(\displaystyle{ L= \frac{B+C}{2}=(b+c_{1},c_{2})}\)
\(\displaystyle{ M= \frac{C+D}{2}=(c_{1}+d_{1},c_{2}+d_{2})}\)
\(\displaystyle{ N= \frac{D+A}{2}=(d_{1},d_{2})}\)

Z warunków zadania: \(\displaystyle{ \vec{KM} \perp \vec{LN}}\)
Zapisujemy warunek za pomocą iloczynu skalarnego:

\(\displaystyle{ \vec{KM} \circ \vec{LN}=0}\)

Wówczas wychodzi \(\displaystyle{ AC^{2}=BD^{2}}\)

c.n.d.

[timon92]

Jeżeli zauważymy, że jedna z tych prostych jest osią symetrii figury, to stąd wywnioskujemy, że druga przekątna powstaje z obrotu pierwszej względem tej prostej.

to niestety na ogół nie jest prawda...

[kruszewski]

[timon92]

w trapezach równoramiennych tak rzeczywiście jest, ale istnieją czworokąty różne od trapezów równoramiennych (siłą rzeczy nie mają osi symetrii) mające własność opisaną w treści zadania

[kruszewski]

Jeżeli szkic objaśnia tezę, to warto go tu pomieścić.

[timon92]

na specjalne życzenie zamieszczam szkic ilustrujący moje poprzednie stwierdzenie \(\displaystyle{ \begin{tikzpicture} \draw (2,4)--(0,3)--(-2,2)--(-4,0)--(-6,-2)--(0,-3)--(6,-4)--(4,0)--(2,4); \draw (0,3)--(0,-3); \draw (-4,0)--(4,0); \draw[dashed] (2,4)--(-6,-2); \draw[dashed] (-2,2)--(6,-4);\end{tikzpicture}}\)

[kruszewski]

Dziękuję! Rzeczywiście, są takie, nie wpadłem na ten pomysł ich narysowania.-- 24 mar 2018, o 04:22 --Korzystając z rysunku Pana timon92 po wprowadzeniu oznaczeń


zauważamy, że:
\(\displaystyle{ |EF|=||FG|=|GJ| =|JE|}\),
również i to, że :
\(\displaystyle{ 2|GJ|= |AC|}\)
Ale: \(\displaystyle{ |GJ|= |FG|}\), zatem na tej samej zasadzie, \(\displaystyle{ 2|GJ|= 2|FG| = |DB|= |AC|}\)
a to kończy dowód dla każdego czworokąta spełniającego warunki zadania.

[timon92]

jeszcze uwaga do powyższego rozwiązania, jak zauważyć, że \(\displaystyle{ |EF|=|FG|=|GJ|=|JE|}\)?

nie jest jasne jak można wywnioskować to z informacji danych w zadaniu i równość tę należałoby dokładnie uzasadnić

[kruszewski]

Korzystając z rysunku Pana timon92 wykonajmy taką konstrukcję:
Przedłużmy po za punkt \(\displaystyle{ G}\) odcinek \(\displaystyle{ JG}\) i odłóżmy na nim odcinek \(\displaystyle{ AC}\) taki, że \(\displaystyle{ JK = AC}\)
\(\displaystyle{ \Delta JGS ~ \Delta JKF}\)
Ale:
\(\displaystyle{ JG = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} JK \rightarrow JS = SF}\)
Wtedy \(\displaystyle{ JG = FG}\)

\(\displaystyle{ AC = 2 JG}\)
\(\displaystyle{ BD = 2 GF}\)
\(\displaystyle{ AC = BD}\)

[timon92]

w powyższym wyjaśnieniu wciąż nie jest jasne, dlaczego trójkąty \(\displaystyle{ JGS}\) i \(\displaystyle{ JKF}\) są podobne

proponuję alternatywne rozwiązanie (przy oznaczeniach z rysunku przedmówcy):

\(\displaystyle{ JG = \frac 12 AC}\), gdyż punkty \(\displaystyle{ J,G}\) są środkami odcinków \(\displaystyle{ DA, DC}\)

z analogicznych powodów \(\displaystyle{ EF=\frac 12 AC}\)

w takim razie \(\displaystyle{ JG=EF}\) i absolutnie analogicznie możemy dowieść, że \(\displaystyle{ FG=\frac 12 BD = EJ}\)

stąd czworokąt \(\displaystyle{ EFGJ}\) jest równoległobokiem, gdyż jego przeciwległe boki są równe

z założeń zadania przekątne tego równoległoboku są prostopadłe, więc ten równoległobok jest rombem

w szczególności \(\displaystyle{ JG=FG}\), skąd \(\displaystyle{ \frac 12 AC = \frac 12 BD}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ AC=BD}\)

[kruszewski]

"z założeń zadania przekątne tego równoległoboku są prostopadłe, więc ten równoległobok jest rombem"
I tego trzeba było dowodzić wcześniej, bo nie wynika to z prostopadłości przekątnych (vide deltoid).
I tego zdania brakowało dla elegancji dowodu.