Okrąg (kula) toczy się między sinusoidami

[kruszewski]

Jakiej największej średnicy okrąg (kulę między powierzchniami sinusoidalnymi) można przetoczyć
między sinusoidami przesuniętymi równolegle do osi rzędnych o rzędną \(\displaystyle{ 2a}\) ?

Niech będą dane krzywe:
\(\displaystyle{ y_o = p \sin (k \varphi)}\) , zielona
\(\displaystyle{ y_1 = p \sin (k \varphi) +a}\), czerwona
\(\displaystyle{ y_2 = p \sin (k \varphi) - a}\), niebieska
Zauważamy, że zielona krzywa \(\displaystyle{ y_o}\) dla każdego argumentu jest jednakowo odległa od obu krzywych, czerwonej i niebieskiej:
\(\displaystyle{ y_1 \ i \ y_2}\)
co oznacza że dla \(\displaystyle{ x_o = x_K}\)
\(\displaystyle{ y_{o._K} = \frac{y_{1,_K} + y_{2,_K} }{2}}\)

Punkt \(\displaystyle{ S}\) krzywej zielonej jest punktem przegięcia na tej krzywej. Prowadząc pęk prostych przez ten punkt zauważamy, że każda przecina krzywe \(\displaystyle{ y_1 \ i \ y_2}\). że punkt \(\displaystyle{ S}\) jest połowiącym odcinki na tych prostych wycinane tymi krzywymi i to, że wśród nich jeden ma najmniejszą długość.
Prostopadła do niego wystawiona w punkcie przecinania krzywej prostą do której on przynależy, jest styczną do okręgu o krzywiźnie krzywej w tym punkcie. Posiada zatem własności pochodnej krzywej w tym punkcie.
Odcinek \(\displaystyle{ |SK|}\) jest promieniem okręgu stycznego do tej krzywej w tym punkcie. A, że jest to najmniejsza odległość od "środkowej" linii, którą jest zielona krzywa to średnica dużego koła kulki jest podwojoną miarą \(\displaystyle{ |SK|}\) Pisząc równanie odcinka o końcach :
\(\displaystyle{ A(0,0) \ i \ K(x_K , y_K)}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_K , y_K}\) spełnia równanie jednej z krzywych "zewnętrznych", \(\displaystyle{ y_1, \ lub \ y_2}\) i znajdując z warunku ekstremum najmniejszą długość odcinka znajdujemy największy promień kulki mogącej przetoczyć się między powierzchniami "sinusolidalnymi" .
Istotny jest tu i to, że miary argumentu i dziedziny funkcji odkładane na swoich osiach muszą być wyrażone w tych samych jednostkach ( np.długości).



Rozwiązanie graficznie wygląda bardzo prosto.

Rysunek przedstawiam poniżej.

[url=https://naforum.zapodaj.net/f9369bdde75e.png.html][/url]



Dwie sinusoidy powstały z przesunięć sinusoidy \(\displaystyle{ y=\sin \alpha}\)
o jeden w górę i w o jeden w dół.
\(\displaystyle{ y_g = (\sin \alpha x) + 1 \ ; \ y_d= (\sin \alpha) -1}\)

Promień kuli \(\displaystyle{ |r|=|SK|}\) wg oznaczenia na poprzednio posłanym rysunku osiąga minimum dla
\(\displaystyle{ \left ( \sqrt{(R \alpha )^2 + (R(\sin \alpha) -a)^2} \right)' =0}\)
dla:

\(\displaystyle{ 2R \cdot \alpha + 2R \sin \alpha \cdot \cos \alpha - 2a \cdot \cos \alpha =0}\)
Rysunek wykonany jest dla promienia koła trygonometrycznego R=1 i dla przesunięcia a sinusoid a=1
Zielonym kolorem narysowana jest funkcja pochodna,

\(\displaystyle{ (r)'= \left( \sqrt{(R \alpha )^2 + (R(\sin \alpha) -a)^2} \right)'}\)

Na rysunku widać dla jakiego argumentu osiąga ona wartość zero.
Teraz wystarcza zrzutować punkt przecięcia wykresu pochodnej z osią argumentu na krzywą
\(\displaystyle{ y= (\sin \alpha) -1}\)
by uzyskać punkt styczności kuli z powierzchnię sinosoidalną (okręgu z sinusoidą) taki, że promień ten jest największym z możliwych promieni kuli jakie można przetoczyć między tymi dwiema sinusoidami.

Zaskakująco proste!

[a4karo]

O ile jest prawdą, że odległość zielonej krzywej od jej bliźniaczek jest taka sama, to niestety nie można tego powiedzieć o każdym punkcie ten krzywej. Odległości bowiem nie mierzy się w pionie. Argument z symetria w p punkcie przecięcia jest chyba ok, ale już kawałek dalej się nie stosuje.

Obym się mylił.

[kruszewski]

Stąd uwaga, że: "zielona krzywa \(\displaystyle{ y_o}\) dla każdego argumentu jest jednakowo odległa od obu krzywych".

Odcinek SK nie jest pod kątem \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) do osi odciętych.