Podział czworokątów. Trapezoidy

[Szymek029]

1. Oblicz miary kątów czworokąta, jeśli:
a) pierwszy kąt jest o \(\displaystyle{ 20^\circ}\) mniejszy od drugiego, trzeci kąt jest o \(\displaystyle{ 70^\circ}\) większy od pierwszego, a czwarty jest średnią arytmetyczną trzech pozostałych

2. Kawałek czworokątnego materiału o obwodzie \(\displaystyle{ 3\,m}\) przecięto wzdłuż jednej z jego przekątnych. Powstały dwie chusty w kształcie trójkąta równoramiennego: pierwsza o obwodzie \(\displaystyle{ 1,8\,m}\), a druga o obwodzie \(\displaystyle{ 2,8\,m}\). Linia rozcięcia stanowi podstawę pierwszego trójkąta, a dla drugiego jest ramieniem. Wyznacz wymiary obu chust.

3. Z dwóch cienkich listewek o długości odpowiednio \(\displaystyle{ 0,8\,m}\) i \(\displaystyle{ 1,05\,m}\) wykonano szkielet latawca. Dłuższa listewka wyznacza oś symetrii krótszej listewki i jest podzielona przez punkt przecięcia się z krótszą listewką na odcinki, których długości mają się do siebie jak \(\displaystyle{ 2:5}\). Następnie końce tych listewek połączono kolejno żyłką, wyznaczając w ten sposób boki latawca. Oblicz długość tej żyłki.

4. Oblicz długość przekątnych \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\), wykorzystując dane z rysunku poniżej:
b)

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/a/NtlSj

[wujomaro]

Gdzie dokładnie pojawiają się problemy?
Pozdrawiam!

[PokEmil]

Zadanie 1.
Spróbuj to zapisać za pomocą kątów \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) i \(\displaystyle{ \delta}\).

Zadanie 4.
Oblicz z Pitagorasa długość \(\displaystyle{ AC}\), a później \(\displaystyle{ AB}\). Odpowiedz, jakim czworokątem jest \(\displaystyle{ ABCD}\)? Dalej już prosto da się obliczyć \(\displaystyle{ BD}\).

[Szymek029]

1 zrobiłem.
\(\displaystyle{ x+(x+20)+(x+70)+3x+\frac{90}{3}=360\\
4x+120=360\\
4x=240\\
x=60}\)
miary kątów to \(\displaystyle{ 60, 80, 80, 130}\).
2. Za to nie wiem jak się zabrać. Wiem, że obwód całego czworoboku wynosi \(\displaystyle{ 3\, m}\). Wiem też, że został podzielony na dwa trójkąty równoramienne, ale nie wiem co dalej.
3. Trzecie też zrobiłem. Wyszło mi \(\displaystyle{ 2,7\, m}\). Korzystałem z twierdzenia Pitagorasa.
4. Na razie tyle

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/a/S8vvF

[PokEmil]

Zadanie 1.
Prawie dobrze, z tym że \(\displaystyle{ 60+80+80+130=350 \neq 360}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ \frac {3x + 90}{3}}\)?

Zadanie 2.
Narysuj czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) i przekątną \(\displaystyle{ AC}\). Oznacz: \(\displaystyle{ AB=a , BC=b , CD=c , DA=d}\) i \(\displaystyle{ AC=e}\). Mamy:
\(\displaystyle{ a+b+c+d=... \\
a+d+e=... \\
b+c+e=...}\)
Z tego spróbuj wyznaczyć długość \(\displaystyle{ e}\). Skoro powstały trójkąty równoramienne to zapisz dwie równości między \(\displaystyle{ a , b , c , d}\) oraz \(\displaystyle{ e}\).

Zadanie 3.
Dobrze.

Zadanie 4.
\(\displaystyle{ AC \neq 16}\). Trójkąt \(\displaystyle{ AEC}\) jest prostokątny, z tego oblicz długość \(\displaystyle{ AC}\).

[Szymek029]

Zadanie 2.

\(\displaystyle{ c+d+e=2,8\, m\\
b+a+e=1,8\, m\\
a+b+c+d=3\, m\\
2,8\, m + 1,8\, m - 2e = 3\, m\\
2e=1,6\, m\\
e=0,8\, m}\)

Pierwsza chusta
\(\displaystyle{ c=1\, m\\
d=1\,m\\
e=0,8\,m}\)

Druga chusta
\(\displaystyle{ a=0,5\,m\\
b=0,5\,m\\
e=0,8\,m}\)

Zadanie 4
Obliczyłem z twierdzenia \(\displaystyle{ AC}\). wyszło \(\displaystyle{ 8 \sqrt{5} + 8 \sqrt{5}}\). Teraz chcę obliczyć z Pitagorasa ten mniejszy odcinek powstały z przecięcia \(\displaystyle{ DB}\). Jednak nie mogę obliczyć \(\displaystyle{ 8 \sqrt{5}}\) do kwadratu. Zawsze miałem problem z pierwiastkami.

[PokEmil]

\(\displaystyle{ (8 \sqrt{5})^{2}=8 \cdot 8 \cdot \sqrt {5} \cdot \sqrt {5} =...}\)

[Szymek029]

No nie wychodzi mi. Skoro \(\displaystyle{ \left( 8 \sqrt{5} \right) ^{2}}\) to jest \(\displaystyle{ 8 \cdot 8 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}\) to wychodzi \(\displaystyle{ 64 \cdot 5}\) czyli \(\displaystyle{ 320}\).

\(\displaystyle{ 320-100=220}\)

\(\displaystyle{ x^{2} = 220}\)

\(\displaystyle{ x = \sqrt{220}}\)

Coś się tu nie zgadza.

[kruszewski]

Proszę zauważyć, że \(\displaystyle{ AC}\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(\displaystyle{ \Delta AEC}\) Zauważmy, że odcinek \(\displaystyle{ BD}\) jest jest nie tylko połowiący przeciwprostokątną \(\displaystyle{ AC}\) ale i jest do niej prostopadły stąd wynika relacja długości odcinków \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CD}\) oraz podziału kąta \(\displaystyle{ \angle D}\) odcinkiem \(\displaystyle{ DB}\).

[Szymek029]

Okej, zrozumiałem popełniłem błąd przypisując \(\displaystyle{ 8 \sqrt{5}}\) połówce przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ AEC}\). Połówka przeciwprostokątnej wynosi \(\displaystyle{ 4 \sqrt{5}}\). A więc możemy obliczyć dolną część odcinka \(\displaystyle{ BD}\) z twierdzenia Pitagorasa. Pozostaje górny odcinek \(\displaystyle{ BD}\) lub odcinek \(\displaystyle{ AD}\) oraz \(\displaystyle{ DC}\). Teraz pytanie. Czy da się obliczyć te odcinki jakimś innym sposobem niż Pitagorasem? Wiem coś o funkcjach trygonometrycznych, ale nie wiem czy w tym przypadku mogę ich użyć.

[kruszewski]

Pewnie że można, Np. \(\displaystyle{ |AD| = \frac{1}{2} \frac{|AC|}{\sin 45^o}}\)

[Szymek029]

Czyli to będzie tak? Pytam, bo nie do końca, to rozumiem. \(\displaystyle{ \left|AD \right|= \frac{1}{2} \cdot 8 \sqrt{5}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{5} }{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }}\) czyli wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{8 \sqrt{5} }{ \sqrt{2} }}\)?

[PokEmil]

Tak. Chociaż do rozwiązania tego zadanie wcale nie jest to potrzebne: wiemy, że \(\displaystyle{ AC}\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(\displaystyle{ ACD}\). Punkt \(\displaystyle{ S}\) niech będzie jej środkiem. Oblicz \(\displaystyle{ BS}\). Jeśli opisalibyśmy okrąg na trójkącie \(\displaystyle{ ACD}\) to czym byłaby przeciwprostokątna trójkąta dla okręgu? Stąd można pokazać, że \(\displaystyle{ 4 \sqrt {5} = AS = BS = ...}\).

[Szymek029]

Dobrze czyli dolny odcinek \(\displaystyle{ BS = 4 \sqrt{5}}\). A jak obliczyć \(\displaystyle{ DS}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ AS=4 \sqrt{5}}\). Wiemy również, że \(\displaystyle{ AD - \frac{8 \sqrt{5} }{ \sqrt{2} }}\). Pozostaje więc chyba funkcja trygonometryczna dla odcinka \(\displaystyle{ DS}\), tylko nie za bardzo wiem jak jej używać...

[PokEmil]

No niezbyt, skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa obliczając \(\displaystyle{ BS}\) z trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ BCS}\). Jeszcze co do trójkąta \(\displaystyle{ ACD}\), skorzystaj z następującego faktu: jeśli na trójkącie prostokątnym opiszemy okrąg, to średnica jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Spróbuj wyznaczyć środek tego okręgu.

-- 14 mar 2018, o 20:54 --

Wcześniej się pomyliłem, miałem na myśli \(\displaystyle{ 4 \sqrt {5} = AS={\red {C}}S=...}\). W miejsce wielokropka zgodnie z powyższym, co napisałem chodzi o to, że \(\displaystyle{ AS=CS=DS= 4 \sqrt {5}}\). Oblicz \(\displaystyle{ BS}\) tak jak napisałem powyżej, a następnie oblicz: \(\displaystyle{ BD = BS + DS=...}\), dokończ.