Trapezy podobne

[poetaopole]

Trapez podzielono dwiema liniami równoległymi do jego podstaw na 3 figury, z których każda jest podobna do dwóch pozostałych. Dane są pola: A — najmniejszej z nich i C — największej. Znajdź pole B trzeciej z tych figur.
Czy \(\displaystyle{ \frac{B}{A}= \frac{C}{B}}\) jest właściwym stosunkiem pól trapezów w tym zadaniu? Odpowiedź się zgadza, ale czy założenie, że skale podobieństwa są tu akurat równe jest właściwe?

[piasek101]

Tak właściwe.

Weź podstawy wyjściowego np \(\displaystyle{ a;b}\) (a - krótsza).

Wtedy najmniejszego to \(\displaystyle{ a;x}\); średniego \(\displaystyle{ x;y}\); największego \(\displaystyle{ y;b}\).

Wyznacz skale podobieństwa i zobacz, ze są takie same.

[poetaopole]

Czyli jak? Mam 3 różne skale: \(\displaystyle{ \frac{a}{x}=k}\), \(\displaystyle{ \frac{x}{y}=m}\), \(\displaystyle{ \frac{y}{b}=n}\). Przecież z treści zadania nie wynika wcale, że \(\displaystyle{ k=m=n}\). Nie rozumiem tego...

[kropka+]

Żeby trapezy były podobne, to muszą mieć równe odpowiadające sobie kąty i jednakowe proporcje pomiędzy odpowiadającymi sobie bokami. Stosunek podstaw w każdym trapezie jest taki sam. W naszym zadaniu jest to jednocześnie skala podobieństwa.

[kerajs]

Zadanie można rozwiązać bez założenia o równości skali podobieństwa.
Niech:
\(\displaystyle{ \frac{B}{A}=m^2 \wedge \frac{C}{A}=k^2}\)
Niech dolna podstawa trapezu o polu A wynosi x a lewe z jego ramion to y. Wtedy
dolna podstawa trapezu o polu B wynosi mx a lewe z jego ramion to my oraz dolna podstawa trapezu o polu C wynosi kx a lewe z jego ramion to ky. Ponadto przedłużę ramiona pierwotnego trapezu aby uzyskać trójkąt. Lewe ramię dopisanego trójkąta nazwę r.
Z tw. Talesa:
a)
\(\displaystyle{ \frac{r+y}{x}= \frac{r+y+my}{mx} \Rightarrow r(m-1)=y}\)
b)
\(\displaystyle{ \frac{r+y}{x}= \frac{r+y+my+ky}{kx} \Rightarrow r(k-1)=y(m+1)}\)
dzieląc powyższe równości stronami mam:
\(\displaystyle{ \frac{m-1}{k-1}= \frac{1}{m+1} \Rightarrow k=m^2}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{C}{A} }= \frac{B}{A} \Rightarrow B= \sqrt{AC}}\)

[kruszewski]

Dla ułatwienia rachunków niech trapez będzie prostokątny o podstawie większej mającej miarę \(\displaystyle{ 5}\) i wysokość \(\displaystyle{ 4}\) a Ukośny bok trapezu tworzy z większą podstawą kąt \(\displaystyle{ 45^o}\).. Proste równoległe do podstawy są odległe od niej o \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) jednostki miary. Otrzymane trapezy to największy \(\displaystyle{ C}\) o podstawie \(\displaystyle{ 5}\) i wysokości \(\displaystyle{ 2}\), średni \(\displaystyle{ B}\) o podstawie \(\displaystyle{ 3}\) i wysokości \(\displaystyle{ 1}\) , najmniejszy \(\displaystyle{ A}\) o podstawie \(\displaystyle{ 2}\) i wysokości \(\displaystyle{ 1}\) . Ukośny bok każdego trapezu tworzy z większą podstawą kąt \(\displaystyle{ 45^o}\).*


Jak można zauważyć trapezy mają pola równe odpowiednio:
\(\displaystyle{ A= \frac{3}{2} \ ; \ \ B= \frac{5}{2} \ ; \ C= \frac{16}{2} \ ;}\)
Sprawdzenie:
Ma być:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{C}{A} }= \frac{B}{A} \Rightarrow B= \sqrt{AC}}\)

\(\displaystyle{ B^2= A \cdot C}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{25}{4} \neq \frac{48}{4}}\)

Chyba, że czegoś nie widzę, ale szkic z oznaczeniami rozwiałby wątpliwości.

[kerajs]

Tylko w trójkącie do stwierdzenia podobieństwa wystarcza kryterium KKK (kąt, kąt, kąt).
Tu trapezy nie są podobne, mimo równych kątów,gdyż stosunek odpowiednich ich boków w każdym z nich jest inny:
C) \(\displaystyle{ 5:2:3:2 \sqrt{2}}\)
B) \(\displaystyle{ 3:1:2: \sqrt{2}}\)
A) \(\displaystyle{ 2:1:1: \sqrt{2}}\)

Trapez spełniający podobieństwo figur otrzymanych z podziału to np:
C) \(\displaystyle{ 8:4:4:4 \sqrt{2}}\)
B) \(\displaystyle{ 4:2:2: 2\sqrt{2}}\)
A) \(\displaystyle{ 2:1:1: \sqrt{2}}\)

[kruszewski]

Czyli podobieństwo między trapezami musi zachodzić.
pisząc:
\(\displaystyle{ \frac{B}{A}=m^2 \wedge \frac{C}{A}=k^2}\)
stwierdza Pan to, że stosunki miar pól \(\displaystyle{ \frac{B}{A}}\) i \(\displaystyle{ \frac{C}{A}}\) są kwadratami pewnych liczb, różnych liczb. I tylko tyle. Z tego wywodzi Pan równanie:

\(\displaystyle{ B= \sqrt{A \cdot C}}\)

Które jest prawdziwe tylko wtedy, kiedy, trapezy składowe są podobne a ich pola są wówczas w stosunku do siebie:
\(\displaystyle{ \frac{B}{A}=m^2 \wedge \frac{C}{A}=k^2}\), oraz \(\displaystyle{ \frac{B}{C} = \left( \frac{m}{k} \right)^2}\)

Zatem nie dla każdego podziału dużego trapezu dwiema prostymi równoległymi.

Pozdrawiając ,
W.Kr.

[piasek101]

Czyli jak? Mam 3 różne skale: \(\displaystyle{ \frac{a}{x}=k}\), \(\displaystyle{ \frac{x}{y}=m}\), \(\displaystyle{ \frac{y}{b}=n}\). Przecież z treści zadania nie wynika wcale, że \(\displaystyle{ k=m=n}\). Nie rozumiem tego...

Zgodnie z tym co pisałem:

skala średniego do małego to \(\displaystyle{ y:x}\), a dużego do średniego to \(\displaystyle{ y:x}\) - przecież są jednakowe.