Stosunek sum kątów

[41421356]

Witam,

Dla ilu kąta wypukłego stosunek sumy kątów wewnętrznych do sumy kątów zewnętrznych wynosi:

a) \(\displaystyle{ 4}\)
b) \(\displaystyle{ 9/2}\)

Najpierw zaczynam od wielokąta foremnego. Otrzymuje równanie:

\(\displaystyle{ \frac{(n-2)180^0}{n\left(360^0-\frac{(n-2)180^0}{n}\right)}=4}\)

Otrzymuje z tego równania \(\displaystyle{ n=-\frac{10}{3}\not\in\mathbb{N}}\) co daję wynik, iż taki wielokąt nie istnieje. W odpowiedziach natomiast piszą, że jest to osiemnatokąt.

[Ania221]

Suma kątów zewnętrznych wielokąta wynosi \(\displaystyle{ 4 \pi}\)

[41421356]

A skąd takie twierdzenie? Przecież ta suma nie jest funkcją stałą tylko zmienną zależną od ilości boków.

[kerajs]

To bubel a nie zadanie

1)
Skoro wielokąt ma być wypukły to każdy kąt wewnętrzny jest mniejszy niż jego dopełnienie do kąta pełnego będące kątem zewnętrznym. Dlatego bez żadnego liczenia wiadomo ze wskazany stosunek będzie mniejszy od 1.

2)

\(\displaystyle{ \frac{(n-2)180^0}{n\left(360^0-\frac{(n-2)180^0}{n}\right)}}\)

Dla każdego wielokąta wypukłego zachodzi:
\(\displaystyle{ s(n)= \frac{ \alpha_1+ \alpha_2+...+ \alpha_n }{ ( 360^{\circ}-\alpha_1)+( 360^{\circ}- \alpha_2)+...+ ( 360^{\circ}- \alpha_n) }= \frac{\alpha_1+ \alpha_2+...+ \alpha_n }{n \cdot 360^{\circ}-(\alpha_1+ \alpha_2+...+ \alpha_n )}=\\= \frac{(n-2)180^{\circ}}{n \cdot 360^{\circ}-(n-2)180^{\circ}}= \frac{n-2}{n}}\)
Dla \(\displaystyle{ n=18}\) stosunek wynosi:
\(\displaystyle{ s(18)= \frac{16}{18}= \frac{8}{9}}\)


Ciekawe kto i na jakim etapie pisania/wydawania tej książki popełnił błąd.

[41421356]

kerajs myślę, że ja i Ty popełniliśmy błąd. Kąt zewnętrzny to nie jest kąt, który w sumie z kątem wewnętrznym dopełniają się do kąta pełnego. Ja miałem w głowie właśnie taką (błędną jak się okazało) definicję kąta zewnętrznego.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.m.wikipedia.org/wiki/K%C4%85t_zewn%C4%99trzny

[kerajs]

Ależ się uśmiałem. Kąt leżący wewnątrz jest kątem wewnętrznym, ale kąt leżący na zewnątrz nie jest kątem zewnętrznym. Może zapamiętam.

Przy wskazanej definicji kąta zewnętrznego zadanie nabiera sensu, a z zależności:
\(\displaystyle{ s(n)= \frac{n-2}{4}}\)
łatwo wskazać szukane wielokąty.

Pozostaje mi jedynie przeprosić za moją ignorancję. Sorki.

[41421356]

Zazwyczaj ten kto nie robi błędów, nie robi zwykle nic. Tak więc szacunek za pomoc i chęć pomocy.

[Rafsaf]

Mnie tam w podstawówce parę ładnych lat temu uczyli, że kąt zewnętrzny w wielokącie razem z kątem wewnętrznym dopełniają się do kąta półpełnego, więc to chyba nie jest wymyślna definicja

Aż dziwne, że Państwo tego nie wiecie (w sensie nie, że hejtuję, na pewno nie, sam czasem sprawdzam w Google ile to tam wynosił ten \(\displaystyle{ \cos30 ^{\circ}}\) czy inne takie, niektóre moje rozwiązania na tym Forum też pozostawiają wiele do życzenia, ale po prostu mnie to dziwi no i wyrażam swoje zdziwienie ).