Pole czworokąta

[Jmoriarty]

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) i średnicy \(\displaystyle{ AB}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) należy do prostej \(\displaystyle{ AB}\) i leży w odległości 7 od środka okręgu, poza punktem \(\displaystyle{ A}\). Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) poprowadzono sieczną okręgu, która przecięła okrąg w punktach \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\), jak na rysunku. Wiedząc, że \(\displaystyle{ \left| PC\right|=3 \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ \left| CD\right|= \sqrt{2}}\), oblicz:
b) pole czworokąta \(\displaystyle{ OBDC}\)

AU

2qappvt.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 280 razy

Mam obliczony promień, który wynosi \(\displaystyle{ r=5}\) i kąt alfa który wynosi \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Nie wiem jak sie do tego dalej zabrać. Jedna z przekątnych będzie chyba równa \(\displaystyle{ r}\), ale nie mam pomysłu na policzenie drugiej, a tym bardziej kąta pomiędzy nimi.

-- 4 mar 2018, o 19:55 --

Edit: obliczyłem i wyszło. Odjąłem pole trójkąta \(\displaystyle{ POC}\) od pola trójkąta \(\displaystyle{ PBD}\). Oba pola obliczyłem ze wzoru \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\alpha}\) (\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to boki, pomiędzy którymi leży kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)).

[Longines]

Bardzo proste zadanie.
Jako, że nie używam Latexa (Administrator mógłby się na mnie mocno pogniewać za brak Latexa) napiszę więc tekstowo, ewentualnie mogę przesłać rysunek poglądowy na e-mail.
Od połowy pola powierzchni koła należy odjąć:
pole dużego odcinka koła
pole małego odcinka koła
pole wycinka koła.
--------------------------------------------------
Cięciwę dużego odcinka obliczysz z trójkąta.
Cięciwę małego odcinka znasz.
Cięciwę a dalej kąt wycinka policzysz bez problemu - wszystkie dane wyjściowe znane.
I wszystko w tym temacie.

[Rafsaf]

Jakoś nie widzę ani trochę wyższości tego rozwiązania. Które kąty policzę "bez problemu" w Twojej metodzie? Bo chyba żadne, choć zależy co masz na myśli mówiąc bez problemu...
Tak czy siak, aby otrzymać długość boku \(\displaystyle{ DB}\) to musiałbyś mieć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) więc po co się jeszcze potem grzebać w obliczeniach wycinków i odcinków jak tu jest szybciej?

Standardowa taktyka to odjęcie pola dużego trójkąta od tego mniejszego i wątpię, że znajdzie się coś szybszego.

[Dilectus]

A może tak:
Pole czworokąta \(\displaystyle{ OBCD}\) jest sumą pól trójkątów \(\displaystyle{ OCD}\) i \(\displaystyle{ OBD}\).
Pole trójkąta \(\displaystyle{ OCD}\) łatwo znaleźć, bo znamy jego wszystkie boki. Żeby policzyć pole trójkąta \(\displaystyle{ OBD}\) trzeba znależć długość odcinka \(\displaystyle{ BD}\), a to można łatwo zrobić, posługując się twierdzeniem cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ POC}\) i trójkąta \(\displaystyle{ PBD}\).

[Ania221]

\(\displaystyle{ P=P_{PBD}-P_{POC}}\)

\(\displaystyle{ P_{PBD}= \frac{1}{2}PB \cdot PD\sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ P_{POC}=\frac{1}{2}PO \cdot PC\sin \alpha}\)

Lub, nie znająć \(\displaystyle{ \sin \alpha}\), obliczyć \(\displaystyle{ BD}\) z podobieństwa trójkątów.

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \sin\alpha}\) znamy, bo znamy \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ POC}\)

[kruszewski]

Mam wrażenie, że ani z twierdzenia sinusów ani cosinusów.
Jeżeli zauważyć, że prostopadła z O do cięciwy CD połowi ją, to wówczas

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ (3 + \frac{1}{2}) \cdot \sqrt{2} }{7} = \frac{ \frac{7}{2} \sqrt{2} }{7} = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
A taki kosinus "ma" kąt ostry miary \(\displaystyle{ 45^o}\)
Teraz można już obliczać pola trójkątów \(\displaystyle{ \Delta PBD}\) i \(\displaystyle{ \Delta POC}\) , których różnica jest poszukiwaną miarą pola czworokąta \(\displaystyle{ OBDC}\)

Rozwiązanie platońskie na załączonym rysunku.

Ukryta treść:    

Kolejność kreślenia :
1. Odcinek miary równej 1,
2. Konstrukcja odcinka miary \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
3. Konstrukcja odcinka miary \(\displaystyle{ 3 \frac{1}{2} \sqrt{2}}\) o początku w \(\displaystyle{ P}\)
4. Tyczenie prostopadłej do skonstruowanego odcinka w jego końcowym punkcie,
5. Zakreślenie łuku okręgu o promieniu \(\displaystyle{ R=7}\) z \(\displaystyle{ P}\).
Otrzymany punkt przecięcia jest środkiem \(\displaystyle{ O}\) okręgu w który jest wpisany rozwiązywany czworokąt.
6. Na odcinku \(\displaystyle{ |3 \frac{1}{2} \sqrt{2}|}\) odmierzamy od \(\displaystyle{ P}\) odcinek \(\displaystyle{ |3 \sqrt{2}|}\) otrzymując punkt \(\displaystyle{ C}\)
7. Odcinek |OC| jest promieniem okręgu.
Konstrukcja pozostałych odcinków i punktów jest już widoczna.

Edit:
Uwzględniając uwagę Kolegi Dilektusa :
Kąt \(\displaystyle{ \angle \alpha}\) to kąt ostry przy wierzchołku \(\displaystyle{ P}\) między ramionami \(\displaystyle{ PB}\) i \(\displaystyle{ PD}\).

[Dilectus]

kruszewski - dla ustalenia uwagi zaznacz, proszę, na rysunku kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)

[Ania221]

Poprawka, tam nie ma trójkątów podobnych.