Dany jest trójkąt oraz prosta przecinająca bok

[illwreakyabonez]

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ |AC|=17}\) i \(\displaystyle{ |BC|=10}\). Na boku AB leży punkt \(\displaystyle{ D}\) taki, że \(\displaystyle{ |AD|:|DB|=3:4}\) oraz \(\displaystyle{ |DC|=10}\). Oblicz pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

Próbowałem (2 dni z rzędu) obliczyć długość boku przeciętego przez prostą z twierdzenia cos:
1. \(\displaystyle{ 10 ^{2}=(3x) ^{2}+10 ^{2}-2 \cdot 3x \cdot 10 \cdot cos _{ \alpha }}\)
2. \(\displaystyle{ 17 ^{2} =(7x) ^{2} +10 ^{2}-2 \cdot 7x \cdot 10 \cdot cos _{ \alpha }}\)
7x - długość boku \(\displaystyle{ |AB|}\), ponieważ jest przecięty w stosunku \(\displaystyle{ 3:4}\), więc z jednej strony prostej jest "\(\displaystyle{ 3x}\)", a z drugiej "\(\displaystyle{ 4x}\)" - razem \(\displaystyle{ 7x}\)

Po przeliczeniu wychodzi \(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{27} }{2}}\).
Mając długości wszystkich boków trójkąta możemy skorzystać ze wzoru Herona i... Wynik wychodzi błędny. Co jest nie tak? ;d

I. Proszę nie pisać "musiałeś źle obliczyć" bez żadnych wyliczeń, ponieważ to w niczym nie pomoże - przeliczę jeszcze raz i zapewne wyjdzie to samo, a jeżeli mi to wykażesz, będę wdzięczny.

II. Może jakaś inna metoda rozwiązania zadania?

[MrCommando]

Niech \(\displaystyle{ |\angle ADC|=\alpha}\).
Z twierdzenia cosinusów odpowiednio dla trójkątów \(\displaystyle{ ADC}\) i \(\displaystyle{ DBC}\) otrzymujemy równania
\(\displaystyle{ 10^2+(3x)^2-2\cdot3x\cdot 10 \cdot \cos\alpha = 17^2}\)
\(\displaystyle{ 10^2+(4x)^2-2\cdot 4x \cdot 10 \cdot \cos (180^{\circ}-\alpha)= 10^2}\)
Spróbuj teraz obliczyć wartość \(\displaystyle{ x}\). Równania, które napisałeś nie są poprawne (o ile drugie ma jakiś sens, to nie rozumiem skąd się wzięło pierwsze, ani który kąt oznaczyłeś jako \(\displaystyle{ \alpha}\)).

[illwreakyabonez]

Niech \(\displaystyle{ |\angle ADC|=\alpha}\).
Z twierdzenia cosinusów odpowiednio dla trójkątów \(\displaystyle{ ADC}\) i \(\displaystyle{ DBC}\) otrzymujemy równania
\(\displaystyle{ 10^2+(3x)^2-2\cdot3x\cdot 10 \cdot \cos\alpha = 17^2}\)
\(\displaystyle{ 10^2+(4x)^2-2\cdot 4x \cdot 10 \cdot \cos (180^{\circ}-\alpha)= 10^2}\)
Spróbuj teraz obliczyć wartość \(\displaystyle{ x}\). Równania, które napisałeś nie są poprawne (o ile drugie ma jakiś sens, to nie rozumiem skąd się wzięło pierwsze, ani który kąt oznaczyłeś jako \(\displaystyle{ \alpha}\)).

Faktycznie, po prostu pomyliłem proporcje - zamiast \(\displaystyle{ |AD|:|DB|=3:4}\) dałem \(\displaystyle{ |AD|:|DB|=4:3}\) i dlatego nie wychodziło
Dzięki za pomoc!