Witam,
mam problem z następującym zadaniem:
W czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany jest okrąg. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) odpowiednio punkty styczności tego okręgu z bokami \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) oraz przez \(\displaystyle{ K}\) punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ MN}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{\left| AK\right| }{\left| CK\right| } = \frac{\left| AM\right| }{\left| CN\right| }.}\)
Dziękuję z góry za wszystkie odpowiedzi.
Czworokąt opisany na okręgu
-
Chocolastic
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 17 lut 2018, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Czworokąt opisany na okręgu
Ostatnio zmieniony 17 lut 2018, o 22:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Czworokąt opisany na okręgu
Środek okręgu wpisanego oznaczam przez O, i wprowadzę kąty
\(\displaystyle{ \angle NMO=\angle NMO= \alpha \\
\angle AKM=\angle CKN= \beta}\)
Są trzy możliwości:
1)
\(\displaystyle{ \angle AMK=90^{\circ}- \alpha \wedge \angle CNK=90^{\circ}+ \alpha}\)
2)
\(\displaystyle{ \angle AMK= \angle CNK=90^{\circ}}\)
3)
\(\displaystyle{ \angle AMK=90^{\circ}+ \alpha \wedge \angle CNK=90^{\circ}- \alpha}\)
Ad 1)
z tw. sinusów w trójkącie AKM:
\(\displaystyle{ \frac{\sin \beta }{\left| AM\right| }= \frac{\sin (90^{\circ}- \alpha)}{\left| AK\right| } \Rightarrow \frac{\left| AK\right|}{\left| AM\right|} = \frac{\sin (90^{\circ}- \alpha)}{\sin \beta } =\frac{\cos \alpha}{\sin \beta }}\)
z tw. sinusów w trójkącie CKN:
\(\displaystyle{ \frac{\sin \beta }{\left| CN\right| }= \frac{\sin (90^{\circ}+ \alpha)}{\left| CK\right| } \Rightarrow \frac{\left| CK\right|}{\left| CN\right|} = \frac{\sin (90^{\circ}+ \alpha)}{\sin \beta } =\frac{\cos \alpha}{\sin \beta }}\)
porównując mam :
\(\displaystyle{ \frac{\cos \alpha}{\sin \beta }=\frac{\left| CK\right|}{\left| CN\right|} = \frac{\left| AK\right|}{\left| AM\right|} \Rightarrow \frac{\left| AM\right|}{\left| CN\right|} = \frac{\left| AK\right|}{\left| CK\right|}}\)
\(\displaystyle{ \angle NMO=\angle NMO= \alpha \\
\angle AKM=\angle CKN= \beta}\)
Są trzy możliwości:
1)
\(\displaystyle{ \angle AMK=90^{\circ}- \alpha \wedge \angle CNK=90^{\circ}+ \alpha}\)
2)
\(\displaystyle{ \angle AMK= \angle CNK=90^{\circ}}\)
3)
\(\displaystyle{ \angle AMK=90^{\circ}+ \alpha \wedge \angle CNK=90^{\circ}- \alpha}\)
Ad 1)
z tw. sinusów w trójkącie AKM:
\(\displaystyle{ \frac{\sin \beta }{\left| AM\right| }= \frac{\sin (90^{\circ}- \alpha)}{\left| AK\right| } \Rightarrow \frac{\left| AK\right|}{\left| AM\right|} = \frac{\sin (90^{\circ}- \alpha)}{\sin \beta } =\frac{\cos \alpha}{\sin \beta }}\)
z tw. sinusów w trójkącie CKN:
\(\displaystyle{ \frac{\sin \beta }{\left| CN\right| }= \frac{\sin (90^{\circ}+ \alpha)}{\left| CK\right| } \Rightarrow \frac{\left| CK\right|}{\left| CN\right|} = \frac{\sin (90^{\circ}+ \alpha)}{\sin \beta } =\frac{\cos \alpha}{\sin \beta }}\)
porównując mam :
\(\displaystyle{ \frac{\cos \alpha}{\sin \beta }=\frac{\left| CK\right|}{\left| CN\right|} = \frac{\left| AK\right|}{\left| AM\right|} \Rightarrow \frac{\left| AM\right|}{\left| CN\right|} = \frac{\left| AK\right|}{\left| CK\right|}}\)