Suma długości przekątnych pięciokąta wypukłego

[tsssssss]

Obwód pięciokąta wypukłego wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{5} -1}\). Każda z przekątnych jest równoległa do jakiegoś boku. Znajdź sumę długości przekątnych.

[florek177]

Pięciokąt jest foremny.

[kruszewski]

Proszę zauważyć, że na tym pięciokącie można opisać okrąg. A opuszczając z jednego wierzchołka prostopadłą do przeciwległego mu boku pięciokąta połowimy tą prostą ten bok ale i kąt, a prosta okazuje się być średnicą okręgu opisanego na pięciokącie. Zauważamy natychmiast równość przekątnych i kątów jaki tworzą ze sobą przekątne zbiegające się w wierzchołku (albo wychodzące z wierzchołka). Znając miarę obwodu znamy miarę boku i jego połowy, znając miarę kąta między opuszczoną prostopadłą która jest symetralną kąta, ale też i miarę kąta między bokiem pięciokąta a przekątną miara jej jest do obliczenia.

Rysunek to tysiąc słów, a dobry rysunek, wielokroć więcej.
Rysujmy więc!

[Hydra147]

Nie musi być foremny, ale da się go na foremny afinicznie przekształcić, wystarczy, że trzy jego wierzchołki przeniesiemy na trzy wierzchołki pięciokąta foremnego, a reszta też przejdzie na pozostałe wierzchołki. Z racji, że stosunek bok/przeciwległa przekątna w przekształceniu afinicznym się nie zmienia, więc odpowiedź będzie taka sama, jak w przypadku pięciokąta foremnego.