Okręgi styczne zewnętrznie

Dusza_humana · Post autor: **Dusza_humana** » 10 lut 2018, o 14:29

Do dwóch okręgów o promieniach 4 poprowadzono dwie wspólne styczne, tak jak na rysunku. W obszarach ograniczonych łukami okręgów i tymi prostymi umieszczono koła styczne zewnętrznie do obu okręgów i do jednej prostej. Oblicz odległość między środkami tych kół.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/4MJ3/

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 10 lut 2018, o 14:36

Przydatny wzór w takich zadaniach to

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem

. Pozwoli na obliczyć promień tego wewnętrznego okręgu a stąd już łatwo będzie wyznaczyć odległość jako sumę dwóch promieni.

Dusza_humana · Post autor: **Dusza_humana** » 10 lut 2018, o 14:53

Janusz Tracz pisze:Przydatny wzór w takich zadaniach to
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem
. Pozwoli na obliczyć promień tego wewnętrznego okręgu a stąd już łatwo będzie wyznaczyć odległość jako sumę dwóch promieni.

Hmm... A coś bardziej na poziomie liceum? Niestety, aż tak zaawansowana nie jestem.

Rafsaf · Post autor: **Rafsaf** » 10 lut 2018, o 15:00

Coś kojarzyłem że było o tym w delcie ale o tym konkretnie traktują tutaj tylko dwa pierwsze akapity, może Ci to pomoże. A to co podał user Janusz Tracz to w sumie jedno i to samo.
... 0-06-2.pdf

Ps. Po prostu podstaw do tego równania, tyle tylko że krzywizna prostej jest równa \(\displaystyle{ 0}\) więc równanie będzie z trzema promieniami a nie z czterema, nawet masz to ładnie narysowane w linku z wikipedii.

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 10 lut 2018, o 15:09

To zerknij na to

Kod: Zaznacz cały

https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/TangentCirclesSangaku.shtml#solution

albo . Dowód podlinkowanego wcześniej przypadku ogólnego też nie jest jakoś strasznie trudny. Spójrz tu [url=https://brilliant.org/wiki/descartes-theorem/]Dowód ogólnego przypadku[/url].

Dusza_humana · Post autor: **Dusza_humana** » 10 lut 2018, o 15:33

Promień małych kółek wychodzi 1, odległość 5 sqrt{2} ?

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 10 lut 2018, o 15:44

Tak promień małego okręgu to \(\displaystyle{ r=1}\) promień dużego to \(\displaystyle{ R=4}\) (to z treści). Odległość to \(\displaystyle{ R+r=5}\)

MrCommando · Post autor: **MrCommando** » 10 lut 2018, o 18:01

Powoływanie się na mocniejsze twierdzenia w tym wypadku mija się z celem. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie środkiem jednego z mniejszych kół (nie ma to znaczenia które z nich rozważymy). Natomiast niechaj \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem styczności okręgów o promieniu \(\displaystyle{ 4}\) i niech \(\displaystyle{ O}\) oznacza środek jednego z nich. Mamy \(\displaystyle{ |OP|=4}\), \(\displaystyle{ |OS|=4+R}\) i \(\displaystyle{ |PS|=4-R}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest promieniem małego koła. Oczywiście kąt \(\displaystyle{ PSO}\) jest prosty, zatem z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ PSO}\) wyznaczamy \(\displaystyle{ R}\).

Dusza_humana · Post autor: **Dusza_humana** » 11 lut 2018, o 12:18

Dlaczego 4-R? Skąd?

MrCommando · Post autor: **MrCommando** » 11 lut 2018, o 12:51

Odległość punktu styczności dwóch większych okręgów od każdej ze stycznych jest oczywiście równa \(\displaystyle{ 4}\). Długość odcinka \(\displaystyle{ PS}\) jest więc tą odległością pomniejszoną o promień małego koła.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 11 lut 2018, o 13:47

Dusza_humana pisze:Hmm... A coś bardziej na poziomie liceum? Niestety, aż tak zaawansowana nie jestem.

Wydaje mi się, że to zadanie jest na poziomie liceum. Pogłówkuj.

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 11 lut 2018, o 14:28

Ćwiczenie na różnicę kwadratów?-- 11 lut 2018, o 16:40 --Ciekawie pisze o takich stycznych kołach w Księdze liczb, (John H. Conway , Rchard K. Guy, Księga liczb. , str.158-159 Ułamki Fareya i koła Forda, . Wyd. WNT 1999r)

Matematyka.pl