Trójkąt w kwadracie
-
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 14 sie 2010, o 12:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 3 razy
Trójkąt w kwadracie
Wybieramy dowolne 3 niewspółliniowe punkty leżące na brzegu kwadratu. Jak pokazać, że pole trójkąta, którego wierzchołkami są te 3 punkty, nie może przekroczyć połowy pola kwadratu?
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Re: Trójkąt w kwadracie
Alternatywnie, można pokazać to ogólniej dla prostokąta.
1. Pokazujemy, że teza jest prawdziwa dla prostokąta i trójkąta z jednym wierzchołkiem w wierzchołku prostkąta (Boki prostkąta oznaczmy \(\displaystyle{ a,b}\) a kawałki na bokach które odcina trójkąt oznaczamy \(\displaystyle{ x,y}\) i łatwo policzyć pole trójkąta jako pole prostokąta minus pola 3 trójkątów prostokątnych).
2. Uzasadniamy, że dla dowolnego trójkąta w kwadracie można tak "przyciąć" ten kwadrat do prostokąta, żeby otrzymać sytuację z punktu 1.
To się zasadniczo sprowadza mniej więcej do tego samego co napisał a4karo
1. Pokazujemy, że teza jest prawdziwa dla prostokąta i trójkąta z jednym wierzchołkiem w wierzchołku prostkąta (Boki prostkąta oznaczmy \(\displaystyle{ a,b}\) a kawałki na bokach które odcina trójkąt oznaczamy \(\displaystyle{ x,y}\) i łatwo policzyć pole trójkąta jako pole prostokąta minus pola 3 trójkątów prostokątnych).
2. Uzasadniamy, że dla dowolnego trójkąta w kwadracie można tak "przyciąć" ten kwadrat do prostokąta, żeby otrzymać sytuację z punktu 1.
To się zasadniczo sprowadza mniej więcej do tego samego co napisał a4karo
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Trójkąt w kwadracie
Teza jest prawdziwa dla trójkąta wpisanego w prostokąt tak, że jeden wierzchołek trójkąta przynależy do jednego z boków a dwa pozostałe są w wierzchołkach przynależnych do przeciwległego boku.
Z rysunku widać, że boki \(\displaystyle{ KD = KN' \ i \ KC=KM'}\) są najdłuższymi z możliwych dla \(\displaystyle{ K}\)
przynależnego do \(\displaystyle{ AB}\) stąd i pole trójkąta wyciętego prostymi \(\displaystyle{ m', \ n' \ i \ p'}\) jest największe i równe połowie pola prostokąta o bokach równych odpowiednio postawie trójkąta i jego wysokości.
Z rysunku widać, że boki \(\displaystyle{ KD = KN' \ i \ KC=KM'}\) są najdłuższymi z możliwych dla \(\displaystyle{ K}\)
przynależnego do \(\displaystyle{ AB}\) stąd i pole trójkąta wyciętego prostymi \(\displaystyle{ m', \ n' \ i \ p'}\) jest największe i równe połowie pola prostokąta o bokach równych odpowiednio postawie trójkąta i jego wysokości.