Trójkąt w kwadracie

[Peter_85]

Wybieramy dowolne 3 niewspółliniowe punkty leżące na brzegu kwadratu. Jak pokazać, że pole trójkąta, którego wierzchołkami są te 3 punkty, nie może przekroczyć połowy pola kwadratu?

[a4karo]

Spróbuj pokazać, że można tak przesuwać te punkty w kierunku wierzchołków kwadratu, że pole nie będzie się zmniejszać.

[bakala12]

Alternatywnie, można pokazać to ogólniej dla prostokąta.
1. Pokazujemy, że teza jest prawdziwa dla prostokąta i trójkąta z jednym wierzchołkiem w wierzchołku prostkąta (Boki prostkąta oznaczmy \(\displaystyle{ a,b}\) a kawałki na bokach które odcina trójkąt oznaczamy \(\displaystyle{ x,y}\) i łatwo policzyć pole trójkąta jako pole prostokąta minus pola 3 trójkątów prostokątnych).
2. Uzasadniamy, że dla dowolnego trójkąta w kwadracie można tak "przyciąć" ten kwadrat do prostokąta, żeby otrzymać sytuację z punktu 1.

To się zasadniczo sprowadza mniej więcej do tego samego co napisał a4karo

[kruszewski]

Teza jest prawdziwa dla trójkąta wpisanego w prostokąt tak, że jeden wierzchołek trójkąta przynależy do jednego z boków a dwa pozostałe są w wierzchołkach przynależnych do przeciwległego boku.

Z rysunku widać, że boki \(\displaystyle{ KD = KN' \ i \ KC=KM'}\) są najdłuższymi z możliwych dla \(\displaystyle{ K}\)
przynależnego do \(\displaystyle{ AB}\) stąd i pole trójkąta wyciętego prostymi \(\displaystyle{ m', \ n' \ i \ p'}\) jest największe i równe połowie pola prostokąta o bokach równych odpowiednio postawie trójkąta i jego wysokości.