Ile boków ma ten wielokąt?

[Dilectus]

Zadanie, które zobaczyłem w internecie.

Liczba przekątnych w pewnym wielokącie foremnym jest podwojonym kwadratem pewnej liczby naturalnej. Ile boków ma ten wielokąt?

[szw1710]

Zamiast foremności wystarczy założyć wypukłość wielokąta z identycznym rozwiązaniem.

Rozwiązanie zadania określa równanie

\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}=2k^2,}\)

gdzie \(\displaystyle{ n,k\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ n\ge 3}\) (zob. też dyskusję na końcu mojego posta). Widać, że \(\displaystyle{ n=4}\) spełnia to równanie z \(\displaystyle{ k=1}\). Pozostaje kwestia znalezienia wszystkich rozwiązań tego równania.

Po prostych przekształceniach związanych z postacią kanoniczną lewej strony otrzymujemy równość

\(\displaystyle{ 2n-3=\sqrt{9+16k^2}.}\)

Jest ona równoważna równaniu

\(\displaystyle{ (2n-3-4k)(2n-3+4k)=9.}\)

Stąd mamy dwie możliwości:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{aligned}
2n-3-4k=1\\ 2n-3+4k=9
\end{aligned}\right.}\)

oraz

\(\displaystyle{ \left\{\begin{aligned}
2n-3-4k=3\\ 2n-3+4k=3
\end{aligned}\right.}\)

Układy z ujemnymi czynnikami nie są możliwe (drugi czynnik jest liczbą nieujemną).

Pierwszy wariant daje \(\displaystyle{ n=4}\), a drugi \(\displaystyle{ n=3}\). Kwadrat jest możliwy, trójkąt nie spełnia warunków zadania, bo ma \(\displaystyle{ 0}\) przekątnych, a \(\displaystyle{ 0}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej. Jeśli umówimy się, że \(\displaystyle{ 0\in\NN}\), to trójkąt też spełnia warunki zadania.

[Dilectus]

Czyli kwadrat jest jedynym wielokątem spełniającym warunki równania.

Ja utknąłem na tym równaniu:

\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}=2k^2}\)

bo zacząłem się zastanawiać, jak dowieść, że funkcja

\(\displaystyle{ y(n)=\frac{n(n-3)}{2}}\)

tylko raz (dla n=4) przyjmuje wartość będącą podwojonym kwadratem pewnej liczby naturalnej.

[bakala12]

Podejdzmy do zadania inaczej, mianowicie zapiszmy:
\(\displaystyle{ n\left(n-3\right)=\left(2k\right)^{2}}\)
Podejdzmy do tego teorioliczbowo i zauważmy, że \(\displaystyle{ NWD\left(n, n-3\right) \in \left\{1,3\right\}}\).
W przypadku gdy \(\displaystyle{ NWD\left(n,n-3\right)=1}\) mamy, że obie liczby \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n-3}\) muszą być kwadratami liczb całkowitych. Stąd łatwo \(\displaystyle{ n=4}\) (oczywiste jest, że \(\displaystyle{ n >3}\), a dla \(\displaystyle{ n>4}\) mamy, że jeśli \(\displaystyle{ l^2=n-3}\) dla pewnego \(\displaystyle{ l>1}\), a mmay \(\displaystyle{ n=l^2 + 3 < \left(l+1\right)^{2}}\) dla \(\displaystyle{ l>1}\)).
Gdyby zaś \(\displaystyle{ NWD\left(n,n-3\right)=3}\), to oznaczając \(\displaystyle{ n=3m}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ m\left(m-1\right)=\left(\frac{2k}{3}\right)^{2}}\)
Lewa strona jest całkowita, prawa również musi być, co więcej \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ m-1}\) są względnie pierwsze, więc muszą być oba kwadratami, a to byłoby możliwe tylko gdy \(\displaystyle{ m=1}\) co daje \(\displaystyle{ n=3}\), więc sumarycznie rozwiązania otrzymujemy dokładnie takie jak podał szw1710,