Trójkąt wpisany w okrąg

[GeneralXavi]

Hej, podam najpierw polecenie: W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość \(\displaystyle{ 16}\) , a ramię ma długość \(\displaystyle{ 8\sqrt{5}}\) . Oblicz odległość środka okręu opisanego na tym trójkącie od jego podstawy.

Zrobiłem taki rysunek:

Ukryta treść:    

AU

wZbBsY5.png (7.84 KiB) Przejrzano 188 razy

\(\displaystyle{ h = \sqrt{(8 \sqrt{5}) ^{2} - 8 ^{2} } \\
h = 16}\)
teraz korzystam z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{8 \sqrt{5}}{sin\angle90^\circ} = 2R \\
\frac{8 \sqrt{5}} {1} = 2R \\
R = 4 \sqrt{5}\\}\)

No i teraz teoretycznie szukana wartość to powinno być \(\displaystyle{ h - R}\) . Ale niestety odpowiedź się nie zgadza. Gdzie leży mój błąd?

(przykład z Vademecum, Nowej Ery, Teraz matura, matematyka rozszerzona)

[janusz47]

Wzór sinusów odnosi się do całego trójkąta równoramiennego, a nie do jego połowy.

Proponuję zastosować wzór:

\(\displaystyle{ R = \frac{a\cdot b \cdot c}{4S}}\)

[GeneralXavi]

Ehm... straszne zaćmienie. Dzięki.

[kruszewski]

Cytata:
teraz korzystam z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{8 \sqrt{5}}{sin\angle90^\circ} = 2R \\
\frac{8 \sqrt{5}} {1} = 2R \\
R = 4 \sqrt{5}\\}\)
Dla którego trójkąta? Proszą go narysować na tym rysunku i zauważy Kolega swój błąd.
No i teraz teoretycznie szukana wartość to powinno być \(\displaystyle{ h - R}\) . Ale niestety odpowiedź się nie zgadza. Gdzie leży mój błąd?
W niepoprawnym równaniu z "twierdzenia sinusów".

-- 6 sty 2018, o 22:29 --

Wzór sinusów odnosi się do całego trójkąta równoramiennego, a nie do jego połowy.
...

Wzór sinusów ważny jest dla każdego trójkąta. Zarówno dla "całego" jak i jego "trójkątnych" części.

Tu kłopot w tym, że w tym "połówkowym" nie znamy miar kątów leżących na przeciw boków \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ 8\sqrt{5}}\) (a stąd i ich sinusów), podobnie jak i dla "całego" trójkąta, choć ich obliczenie jest tu bardzo łatwe.

[janusz47]

Panie Kruszewski

Miary kątów, o których Pan pisze możemy łatwo obliczyć, ale przedmiotem zadania jest trójkąt równoramienny, a nie jego połowa - trójkąt prostokątny.

[kruszewski]

Panie Kruszewski

Miary kątów, o których Pan pisze możemy łatwo obliczyć, ale przedmiotem zadania jest trójkąt równoramienny, a nie jego połowa - trójkąt prostokątny.

Ale Pan dyskutuje tw. sinusów a nie trójkąt. A to już jest inna "para kaloszy".
Twierdzenie sinusów jest słuszne od kilku lat dla wszystkich trójkątów.

-- 6 sty 2018, o 23:01 --

Rozpatrując trójkąt "połówkowy", o przyprostokątnych \(\displaystyle{ h}\) , \(\displaystyle{ 8}\) i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 8\sqrt{5}}\) otrzymujemy dla \(\displaystyle{ \alpha}\) , kąta na przeciw boku miary \(\displaystyle{ 8}\) :

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{8}{8 \sqrt{5} } = \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)
\(\displaystyle{ \cos^2 \alpha =1- \frac{1}{5}= \frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ R \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2}8 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ 4 \sqrt{5}=R \cdot \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\)
\(\displaystyle{ R=10;\ 2R=20;\ 2R-h=20-16=4}\) .

[janusz47]

Nie piszę twierdzenie sinusów, a trójkąt prostokątny, tylko trójkąt równoramienny, a nie trójkąt prostokątny. Zgadzam się, że twierdzenie sinusów możemy stosować do każdego trójkąta (aczkolwiek dla trójkąta prostokątnego tego twierdzenia w praktyce się nie stosuje, to jest sztuczne, o czym się Pan sam przekonał, wykorzystując definicję sinusa i jedynkę trygonometryczną).
W tym przypadku rozpatrujemy trójkąt równoramienny. I dlatego proszę się nie obrażać na moją dyskusję.

[kruszewski]

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oraz przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ c}\) tw. sinusów ma postać:

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha } = \frac{b}{\sin \beta } = \frac{c}{\sin90^\circ} = c}\)

stąd:
\(\displaystyle{ a= c \cdot \sin \alpha}\) i \(\displaystyle{ b= c \cdot \sin \beta}\)
Takie same wyniki mamy z "koła trygonometrycznego".
Tak zatem stosujemy i tu tw. sinusów.
Ja nie obrażam się, na forum nie mam tego zwyczaju.

[janusz47]

Proszę Pana upiera się Pan przy twierdzeniu sinusów dla trójkąta prostokątnego. To jest jak na pisałem P w praktyce nie stosowane i sztuczne. I Pan o tym doskonale wie.

[kruszewski]

Jeżeli Pan napisze dla trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ a=c \cdot \sin \alpha}\) to nie jest to również konsekwencją milczącego tw. sinusów dla tego trójkąta które jest ogólniejsze dla trójkątów niż rzuty promienia koła trygonometrycznego na osie współrzędnych?
Koło trygonometryczne nie rozwiązuje trójkątów, nawet prostokątnych. To geometryczna interpretacja funkcji trygonometrycznych.
Proszę popatrzeć na problem szerzej niż pokazują go w gimnazjum.
Zastosowanie i kąt patrzenia na problem zależą od wielu czynników.
Na tym kończę dyskusję, która nic nowego nie wniesie.

[SlotaWoj]

@Janusz47

Problem nie w tym, że GeneralXavi zastosował wzór sinusów do niewłaściwego trójkąta, tylko że zastosował go źle, bo:

• \(\displaystyle{ \frac{8\sqrt{5}}{\sin90^\circ}\neq2R}\) – gdzie \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dg}{0 0.4 0}{\dg{R}}}\) dla całego trójkąta

Gdyby zastosował poprawnie (mimo, że rzeczywiście jest to trochę „sztuczne”) do wyznaczenia kąta przy podstawie trójkąta itd., doszedłby do tego, co napisał Kruszewski.
Gdyby zaś narysował symetralną boku \(\displaystyle{ 8\sqrt{5}}\) , to może by zauważył, że pewne trójkąty są podobne i użył proporcji.

Edit: 2018-01-07 15:20 Doprecyzowałem na zielono.

[janusz47]

Zgadzam się, twierdzenie sinusów można stosować do trójkątów dowolnych nawet prostokątnych, ale nie w tym przypadku (do połowy trójkąta równoramiennego), o czym świadczy zły wynik w odpowiedzi Kol. GeneralXavi.

[kruszewski]

@SlotaWoj
Tu niema żadnej sztuczności. Jest to konsekwentne zastosowanie tw. sinusów głoszącego, że
"W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie."
oraz: "Twierdzenie sinusów lub wzór sinusów – twierdzenie dotyczące zależności między kątami i bokami w trójkącie."
( podkreślenie moje, W.Kr.
"Naturalność" o której tu piszecie jest sztuczna, bo wynika z równania:

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha } = \frac{c}{\sin90^\circ}}\)

a nie odwrotnie, bo równanie \(\displaystyle{ a= c \cdot \sin \alpha}\)
wynika stąd:
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha }= \frac{c}{1}}\) , w którym w myśli wykonujemy zapisane tu działania otrzymując :
\(\displaystyle{ a= c \cdot \sin \alpha}\)
I tu jest ta "sztuczność" uważana za "naturalność".
Piszę to z myślą, że czytający zauważą to i skojarzą z faktem, że to nie wóz był pierwszym ale koń.

[janusz47]

Proszę Pana

Rozwiązując dowolny trójkąt prostokątny, czy pisze Pan w zadaniu " stosuję twierdzenie sinusów (Snelliusa) do obliczenia na przykład długości boku tego trójkąta, czy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie" (długości równej jego przeciwprostokątnej)?

Ponadto nie należy porównywać koła trygonometrycznego do twierdzenia sinusów, bo jak sam Pan stwierdza służy ono do definicji funkcji trygonometrycznych, dodam i ich własności, a nie do rozwiązywania trójkątów dowolnych.

[GeneralXavi]

Jasne. Ja sobie zdaję sprawę z tego, gdzie popełniłem błąd. Jednak dzięki wielkie za solidną dyskusję.