Trójkąt prostokątny z kwadratem dowód

[Mati2000xcx]

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Przeciwprostokątna AB jest jednocześnie bokiem kwadratu. Trójkąt prostokątny i kwadrat leżą po przeciwnych stronach prostej AB. Z punktu C poprowadzono półprostą przez punkt O przecięcia się przekątnych kwadratu. Wykaż, że półprosta CO jest dwusieczną kąta ACB.

[PokEmil]

Dorysuj trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ A'B'C'}\) przystający do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) tak, że \(\displaystyle{ A=B'}\) oraz, że przeciwprostokątna tego trójkąta pokrywa się z jednym z boków kwadratu. Ile wynosi \(\displaystyle{ \angle COC'}\) ?

[matmatmm]

Hint: Na czworokącie \(\displaystyle{ AOBC}\) można opisać okrąg.

[Mati2000xcx]

Nie za bardzo wiem jak dorysować ten drugi trójkąt

[PokEmil]

Weź dwie kartki, na każdej narysuj trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) oraz kwadrat, tak jak jest podane w poleceniu. Teraz jedną z kartek obróć o \(\displaystyle{ 90^\circ}\). Widzisz w jakiej pozycji jest ten trójkąt? Spróbuj go przerysować tak, żeby dopasować jego przeciwprostokątną do boku kwadratu.
Edit.:
Jednak łatwiej będzie chyba, jak dorysujesz jeszcze dwa trójkąty, tak żeby stworzyć jeden duży kwadrat. Wtedy z informacji o przekątnych w kwadracie, odpowiedz sobie na pytanie, co mają wspólnego odcinki \(\displaystyle{ CO}\), \(\displaystyle{ C'O}\) oraz przekątne kwadratu (utworzonego z wierzchołków kąta prostego trójkątów prostokątnych). Ile wynosi \(\displaystyle{ \angle COC'}\) ?
Edit 2.:
To rozwiązanie jest nieco inne od tych co piszą inni, ale niemniej poprawne.

[Dilectus]

Mati2000xcx, jak już uporasz się z rysunkiem, to przypomnij sobie tw. o kątach wpisanych w okrąg i kątach środkowych opartych na tym samym łuku. Chodzi o kąty

\(\displaystyle{ \angle AOC}\)

\(\displaystyle{ \angle ACB}\)

[kerajs]

Z tw. sinusów:

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ \angle BAC= \alpha}\)
1)
W trójkącie ACO zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{\left| CO\right| }{\sin (\alpha + 45^{\circ} ) }= \frac{\left| AO\right| }{\sin ACO } \Rightarrow
\sin ACO= \frac{\left| CO\right| }{\left| AO\right|\sin (\alpha + 45^{\circ} ) }}\)
2)
W trójkącie ACO zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{\left| CO\right| }{\sin ( 135^{\circ} - \alpha ) }= \frac{\left| BO\right| }{\sin BCO } \Rightarrow
\sin BCO= \frac{\left| CO\right| }{\left| BO\right|\sin (180^{\circ}-(\alpha + 45^{\circ}) ) }}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \sin BCO= \frac{\left| CO\right| }{\left| BO\right|\sin (180^{\circ}-(\alpha + 45^{\circ}) ) }=
\frac{\left| CO\right| }{\left| AO\right|\sin (\alpha + 45^{\circ}) }=\sin ACO\\
\angle BCO=\angle ACO}\)

[kruszewski]

Kąt \(\displaystyle{ \angle ECB = \frac{1}{2} \angle EOF}\), półpełnego opartego na połowie okręgu, stąd \(\displaystyle{ \angle ECB= 90^o}\) a odcinek \(\displaystyle{ EF}\) jest średnicą okręgu.
Podobnie \(\displaystyle{ \angle CFO}\) jest kątem prostym podobnie jak i \(\displaystyle{ \angle EOF}\).
Zatem \(\displaystyle{ \angle EFO}\) ma miarę \(\displaystyle{ 45^o}\), \(\displaystyle{ \angle EDO}\) jest kątem prostym a czworobok \(\displaystyle{ ECFO}\) kwadratem którego przekątne są dwusiecznymi jego kątów.
Zatem prosta do której przynależy odcinek \(\displaystyle{ CO}\) jest dwusieczną kąta prostego \(\displaystyle{ C}\) trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) co należało pokazać.