stosunek boków

[klimat]

Wewnątrz trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) obrano punkt \(\displaystyle{ D}\) tak, że \(\displaystyle{ \angle ADB= \angle ACB + 90^\circ}\) oraz \(\displaystyle{ AC \cdot BD=AD \cdot BC}\) .

Oblicz wartość: \(\displaystyle{ \frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD}}\) .

[_Michal]

Poprowadźmy prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ AC}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ C}\). Następnie odkłóżmy na tej prostej odcinek \(\displaystyle{ CE}\), tak aby \(\displaystyle{ CE = CA}\), ale tak żeby \(\displaystyle{ E}\) był po drugiej stronie prostej \(\displaystyle{ AC}\) niż jest \(\displaystyle{ B}\). Z cechy BKB \(\displaystyle{ \Delta ECB \sim \Delta ADB}\).
Z tego podobieństwa od razu wynika (znowu z cechy BKB oraz z faktu, że \(\displaystyle{ \angle CBD = \angle EBA}\)), że \(\displaystyle{ \Delta BDC \sim \Delta BAE}\). Z tego: \(\displaystyle{ \frac{BC}{CD}=\frac{BE}{EA}}\) ale: \(\displaystyle{ EA=AC \sqrt{2}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ \frac{CD \cdot BE}{BC \cdot AC}= \sqrt{2}}\) Ale, ponieważ \(\displaystyle{ \Delta ECB \sim \Delta ADB}\), to \(\displaystyle{ \frac{BE}{BC}=\frac{AB}{BD}}\). Czyli \(\displaystyle{ \frac{CD \cdot AB}{BD \cdot AC}= \sqrt{2}}\)