Pole prostokąta i jego przekątne

[Kal006]

W prostokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\) . Pole trójkąta \(\displaystyle{ DSC}\) jest równe \(\displaystyle{ 1\ dm^{2}}\) . Oblicz pole prostokąta oraz wiedząc, że \(\displaystyle{ \left| BSC \right| = 30^\circ}\) , wyznacz długość przekątnych tego prostokąta.

[piasek101]

Znasz kąt \(\displaystyle{ DSC}\) (tak sądzę) - zatem pole \(\displaystyle{ DSC}\) możesz liczyć (wynik znany) ze wzoru z sinusem kąta między bokami. Albo coś zauważyć na temat tego sinusa i sinusa podanego kąta.

[Kal006]

Tak wyliczyłam ten kąt. A dałoby się to rozwiązać inaczej niż trygonometrią? Rozumiem całkiem dobry pomysł, tylko nie wiem czy dam rade to wytłumaczyć pewnej osobie...

[piasek101]

[edit] Poniższe to kiszka - pomyliłem kąty.
Oczywiście, że można - w zasadzie na poziomie gimnazjum (po edycji - teraz też i szkoły podstawowej).

Poprowadź wysokości trójkątów \(\displaystyle{ ASB}\) oraz \(\displaystyle{ DSC}\) przez \(\displaystyle{ S}\) .

\(\displaystyle{ \red (}\)Zobacz trójkąty prostokątne o kątach \(\displaystyle{ 30;60;90}\) (to połowy tych o danych polach).

Jeśli wysokość oznaczymy przez \(\displaystyle{ x}\) , to boki prostokąta mają \(\displaystyle{ 2x}\) oraz \(\displaystyle{ 2\sqrt 3 x}\) - z własności połowy trójkąta równobocznego.

Wiemy, że \(\displaystyle{ 0,5\cdot x\cdot 2\sqrt 3 x=1}\) . \(\displaystyle{ \red )}\)

To w czerwonym nawiasie do wyrzucenia.
Poprowadzić wysokości trójkątów \(\displaystyle{ ASD}\) i \(\displaystyle{ BSC}\) przez \(\displaystyle{ S}\) .
Zobaczyć, że prostokąt składa się z ośmiu jednakowych trójkątów.

[Kal006]

Widzę już, ale dalej nic mi to nie daje, gdyż nie mam żadnego z boków... a sinusa trzeba z czegoś obliczać.

[Dilectus]

nie wiem czy dam rade to wytłumaczyć pewnej osobie...

Przyślij tę osobę na Forum, a tymczasem zrób rysunek, zaczynając od narysowania przekątnych przecinających się kątem \(\displaystyle{ \angle BSC}\) .

Zrób oznaczenia i dostrzeż, jakie są kąty nachylenia przekątnej tego prostokąta do jego boków.
Teraz pomyśl, jak obliczyć pole każdego z trójkątów, na jakie dzielą ten prostokąt jego przekątne, znając pole jednego z nich, mianowicie trójkąta \(\displaystyle{ DSC}\) .
Jeśli będziesz znał pole prostokąta i kąt, jaki tworzy jego przekątna z podstawą, to znajdziesz długości boków prostokąta i jego przekątnych.

[Kal006]

Ok juz rozumiem dzieki

[piasek101]

Żadne długości boków nie są potrzebne.

Skoro trójkąt DSC ma pole 1 to jego połowa ma pole \(\displaystyle{ 0,5}\).

Skoro prostokąt składa się z ośmiu (tak pisałem wcześniej) jednakowych trójkątów o polu \(\displaystyle{ 0,5}\) to jego pole (tego prostokąta) wynosi \(\displaystyle{ 8\cdot 0,5}\).