długości promieni

[patrycja9898]

Hej Mam problem z tym zadaniem.
Okręgi na rysunku są styczne, zaś stosunek długości ich promieni jest równy \(\displaystyle{ \frac{R}{r}=3.}\) Wiedząc, że pole zacieniowanego obszaru jest równe \(\displaystyle{ 2\pi-3\sqrt{3}}\) wyznacz długości promieni tych okręgów.

Udało mi się dojść, to tego, że skoro pole wycinka \(\displaystyle{ 2\pi-3\sqrt{3}}\), to stąd wynika, że pole trójkąta jest równe \(\displaystyle{ 3\sqrt{3}}\).
Obliczyłam jeszcze, ze wzoru na pole wycinka \(\displaystyle{ P= \frac{\alpha}{360 ^\circ} \cdot \pi r^{2}}\), że \(\displaystyle{ \alpha= \frac{4\pi}{R^{2}}}\)

Proszę o pomoc jak rozwiązać to zadanie.

[janusz47]

Dane jest pole odcinka koła (nie wycinka) równe różnicy pól wycinka kola oraz pola trójkąta równoramiennego o ramionach długości równej promieniowi \(\displaystyle{ R.}\)

Z układu równań:

\(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{2}x\cdot R^2 = 2\pi \\ \frac{1}{2}R^2\cdot \sin(x)= 3\sqrt{3}\end{matrix}\right.}\)

po podzieleniu rówmań stronami otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ \frac{sin(x)}{x} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}= \frac{\sqrt{3}}{2\frac{\pi}{3}},}\)

z którego wynika, że miara łukowa kąta środkowego jest równa

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{3}.}\)

Proszę obliczyć długość promieni: \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ r = \frac{R}{3}.}\)