Twierdzenie odwrotne do twierdzenia o siecznych

[VirtualUser]

Witam, czy prawdą jest, że jeżeli

AU

styczne_i_sieczne_105.png (11.78 KiB) Przejrzano 203 razy

dane są dwa skrzyżowane odcinki \(\displaystyle{ CD}\) oraz \(\displaystyle{ AB}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\) przecięcia miedzy nimi oraz
\(\displaystyle{ \left| PC\right| \cdot \left| PD \right| = \left| PA \right| \cdot \left| PB\right|}\) to przez wierzchołki czworokąta \(\displaystyle{ ADBC}\) można poprowadzić okrąg?

[matmatmm]

Korzystając z przystawania kątów wierzchołkowych i z podanej równości można udowodnić podobieństwo trójkątów \(\displaystyle{ \triangle APC}\) i \(\displaystyle{ \triangle DPB}\). Z podobieństwa wynika \(\displaystyle{ \angle PAC=\angle PDB}\) i jest to warunek wystarczający na opisanie okręgu.

[Kaf]

A odpowiadając na Twoje pytanie: tak. Opisz okrąg na wybranych 3 punktach tego czworokąta, np. na \(\displaystyle{ \Delta ABC}\). Wtedy prosta \(\displaystyle{ CD}\) przecina ten okrąg w jakimś punkcie \(\displaystyle{ X}\), wobec tego \(\displaystyle{ PA\cdot PB = PC \cdot PX}\), a zważywszy na fakt, że \(\displaystyle{ PC\right \cdot PD \right| = PA \cdot PB}\) mamy \(\displaystyle{ PX=PD}\). Po chwili zastanowienia otrzymujemy \(\displaystyle{ X=D}\), czyli punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) leżą na jednym okręgu.

Swoją drogą w tym twierdzeniu/twierdzeniach zupełnie nie ma znaczenia czy punkt \(\displaystyle{ P}\) zdefiniujemy jako punkt przecięcia przekątnych \(\displaystyle{ ABCD}\) czy jako punkt przecięcia przedłużeń boków!