Okręgi a sieczna

[mol_ksiazkowy]

Na płaszczyźnie są jednakowe i przecinające się okręgi a przez jeden z ich punktów wspólnych jest dana prosta. Udowodnić, że okrąg którego średnicą jest wspólna cięciwa tych okręgów połowi odcinek siecznej który wyznaczyła ta prosta.

[kerajs]

Umieszczę dwa okręgi w układzie współrzędnych
\(\displaystyle{ 0<p<R\\
o_1: \ (x-p)^2+y^2=R^2\\
o_2: \ (x+p)^2+y^2=R^2}\)
Okręgiem o średnicy będącej wskazaną cięciwą jest:
\(\displaystyle{ o_w: \ x^2+y^2=R^2-p^2}\)
Przez górny punkt przecięcia przechodzi prosta
\(\displaystyle{ l: \ y=ax+\sqrt{R^2-p^2} \wedge a \neq 0\\}\)
Szukam punktów wspólnych okręgów i prostej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} o_1 \\ l \end{cases} \Rightarrow \left( \begin{cases} x_0=0\\y_0=\sqrt{R^2-p^2} \end{cases} \vee \begin{cases} x_1=\frac{2p-2a\sqrt{R^2-p^2}}{a^2+1}\\
y_1=\frac{2ap+\sqrt{R^2-p^2}}{a^2+1} \end{cases}\right)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} o_2 \\ l \end{cases} \Rightarrow \left( \begin{cases} x_0=0\\y_0=\sqrt{R^2-p^2} \end{cases} \vee \begin{cases} x_2=\frac{-2p-2a\sqrt{R^2-p^2}}{a^2+1}\\
y_2=\frac{-2ap+\sqrt{R^2-p^2}}{a^2+1} \end{cases}\right)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} o_w \\ l \end{cases} \Rightarrow \left( \begin{cases} x_0=0\\y_0=\sqrt{R^2-p^2} \end{cases} \vee \begin{cases} x_w=\frac{-2a\sqrt{R^2-p^2}}{a^2+1}\\
y_w=\frac{\sqrt{R^2-p^2}}{a^2+1} \end{cases}\right)}\)

Faktycznie zachodzi teza:
\(\displaystyle{ x_w=\frac{x_1+x_2}{2}\\
y_w=\frac{y_1+y_2}{2}}\)

[karolex123]

Bez układu współrzędnych:
Niech dane okręgi przecinają się w \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\), a prosta przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ A}\) (dla ustalenia uwagi) przecina dane okręgi w \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Niech jeszcze okrąg o średnicy \(\displaystyle{ AB}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ PQ}\) w \(\displaystyle{ X}\) różnym od \(\displaystyle{ A}\) (jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest jedynym punktem wspólnym tego okręgu i prostej \(\displaystyle{ PQ}\) to teza jest oczywista). Jasnym jest, że \(\displaystyle{ \angle BXA=90 ^{\circ}}\). Ponadto, ponieważ dwa dane okręgi są przystające to \(\displaystyle{ \angle APB=\angle AQB}\). Trójkąt \(\displaystyle{ PBQ}\) jest w konsekwencji równoramienny, a jego wysokość \(\displaystyle{ BX}\) dzieli jego podstawę \(\displaystyle{ PQ}\) na połowy, co kończy dowód.
Uwaga: powyższe rozumowanie jest poprawne, o ile punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą po przeciwnych stronach prostej \(\displaystyle{ AB}\). W przeciwnym razie rozumowanie przebiega następująco:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą w tej właśnie kolejności na jednej prostej. Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \angle BQX=\angle BPX}\). A to jest jasne, gdyż \(\displaystyle{ \angle BPX=\angle PBA+\angle PAB= \theta}\), gdzie \(\displaystyle{ \theta}\) oznacza kąt wpisany w jeden z danych okręgów oparty na łuku \(\displaystyle{ AB}\). Jest jasne, że \(\displaystyle{ \theta}\) nie zależy od wyboru okręgu, toteż \(\displaystyle{ \theta=\angle AQB=\angle XQB}\), co zwieńcza rozwiązanie.