Czworokąt opisany na okręgu

[witia1990]

W czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) można wpisać okrąg. Ponadto boki tego czworokąta spełniają warunek \(\displaystyle{ |AB|-|CD|=|BC|-|AD|}\). Wiedząc, że przekątne czworokąta mają długość 5cm i 8cm, oblicz jego pole.

Podpowiedź jest taka, żeby pokazać, że ten czworokąt to deltoid. Jak to zrobić?

[Premislav]

Skoro da się wpisać okrąg w ten czworokąt, to
\(\displaystyle{ |AB|+|CD|=|BC|+|AD|}\)
(sumy przeciwległych boków muszą być równe).
Dodając tę równość stronami do równości
\(\displaystyle{ |AB|-|CD|=|BC|-|AD|}\) i dzieląc otrzymaną równość stronami przez \(\displaystyle{ 2}\), mamy
\(\displaystyle{ |AB|=|BC|}\), stąd i z pierwszej równości jest \(\displaystyle{ |CD|=|AD|}\).
No to mamy deltoid, a dalej nie powinno być trudno, wzór na pole deltoidu i do widzenia.

[SlotaWoj]

Ponadto boki tego czworokąta spełniają warunek \(\displaystyle{ |AB|-|CD|=|BC|-|AD|}\).

Powinno być:

• \(\displaystyle{ \left|AB\right|-\left|BC\right|=\left|AD\right|-\left|CD\right|}\)

[witia1990]

Skoro da się wpisać okrąg w ten czworokąt, to
\(\displaystyle{ |AB|+|CD|=|BC|+|AD|}\)
(sumy przeciwległych boków muszą być równe).
Dodając tę równość stronami do równości
\(\displaystyle{ |AB|-|CD|=|BC|-|AD|}\) i dzieląc otrzymaną równość stronami przez \(\displaystyle{ 2}\), mamy
\(\displaystyle{ |AB|=|BC|}\), stąd i z pierwszej równości jest \(\displaystyle{ |CD|=|AD|}\).
No to mamy deltoid, a dalej nie powinno być trudno, wzór na pole deltoidu i do widzenia.

Rozumiem. Też doszedłem do tych równości. Ale w jaki sposób wykazać, że przekątne przecinają się pod kątem prostym?

[Premislav]

Podzielić ten czworokąt na dwa trójkąty równoramienne sklejone jednym bokiem i zauważyć, że wysokości (i zarazem dwusieczne kątów między równymi bokami) dzielą ten wspólny bok na dwie równe części (może trochę niejasno piszę, bo od lat nie robiłem planimetrii ). Zatem te wysokości (które raze tworzą jedną z przekątnych czworokąta) stykają się w jednym punkcie z tym wspólnym bokiem trójkątów równoramiennych, czyli z drugą przekątną (no i wobec tego jasne że pod kątem \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\)).

-- 14 wrz 2017, o 00:31 --

SlotaWoj, o co chodzi? To nie jest jakaś impertynencja, tylko szczerze nie rozumiem uwagi.

[SlotaWoj]

SlotaWoj, o co chodzi?

Bo dla deltoidu (w zależności, od którego wierzchołka zaczynamy oznaczanie) może też być:

• \(\displaystyle{ \left|AB\right|-\left|CD\right|={\red{-}}\left(\left|BC\right|-\left|AD\right|\right)}\)

[witia1990]

Ponadto boki tego czworokąta spełniają warunek \(\displaystyle{ |AB|-|CD|=|BC|-|AD|}\).

Powinno być:

• \(\displaystyle{ \left|AB\right|-\left|BC\right|=\left|AD\right|-\left|CD\right|}\)

Taka była treść zadania, dlatego tak napisałem