nierówność miedzy odcinkami - dowód

[maximum2000]

ABCD to czworokąt wypukły. Pokaż że jeśli \(\displaystyle{ AB+BD < AC+CD}\) ,to \(\displaystyle{ AB<AC}\).

[octahedron]

Założmy, że \(\displaystyle{ |AB|\ge |AC|}\). Wtedy \(\displaystyle{ |\angle ACB|\ge|\angle CBA|}\), czyli \(\displaystyle{ |\angle DCB|>|\angle CBD|}\), a stąd \(\displaystyle{ |BD|>|CD|}\), ale wtedy \(\displaystyle{ |AB|+|BD|>|AC|+|CD|}\). Musi więc być \(\displaystyle{ |AB|<|AC|}\).