dowód planimetria

[andres100]

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) mamy dane:
\(\displaystyle{ \angle C=90^\circ}\),\(\displaystyle{ \left|AC\right|=b , \left|AB\right|=c}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ A}\) przecięła w punkcie \(\displaystyle{ P}\) prostą prostopadłą do boku \(\displaystyle{ AB}\) i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ B}\).Wykaż,że odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od boku \(\displaystyle{ BC}\) jest równa \(\displaystyle{ c-b}\).
Byłby ktoś w stanie naprowadzić na rozwiązanie?
Z góry dzięki.

[piasek101]

\(\displaystyle{ D}\) - punkt przecięcia dwusiecznej z bokiem \(\displaystyle{ BC}\).

Na początek :
1) trójkąty \(\displaystyle{ ACD}\) i \(\displaystyle{ ABP}\) są podobne
2) tw. o dwusiecznej.

[andres100]

Do tego właśnie doszedłem,ale nie mogę wymyślić jak powiązać \(\displaystyle{ c,b}\) do wysokości nowo powstałego trójkąta(ja go oznaczyłem \(\displaystyle{ BPF}\)).

[piasek101]

Wziąłem do tego pole \(\displaystyle{ ABP}\) - dwoma sposobami.

[andres100]

Wielkie dzięki!
Użyłeś wzoru herona,czy z użyciem sinusa?

[piasek101]

Chciałem mieć szukany \(\displaystyle{ ( x )}\).
Wziąłem pole klasycznie - połowa iloczynu przyprostokątnych i przyrównałem do sumy pól trójkątów \(\displaystyle{ BDP}\) i \(\displaystyle{ ABD}\) .
Do tego to co wcześniej - ,,pobawić się" tak aby tylko \(\displaystyle{ ( x),(c )}\) i \(\displaystyle{ (b)}\) zostało.

[karolex123]

Zaproponuję taką sztuczkę.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ P}\) na prostą \(\displaystyle{ AC}\). Wówczas oczywiście \(\displaystyle{ \left| AX\right|=\left| AB\right|=c}\). Odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od prostej \(\displaystyle{ BC}\) jest równa odległości punktu \(\displaystyle{ X}\) od tej prostej. Stąd szukana odległość jest równa \(\displaystyle{ \left| XC\right|=\left| AX\right| -\left| AC\right| =c-b}\).

[andres100]

Świetny sposób,z tym że nie bardzo maturalny.Pytanie do wcześniejszego rozwiązania, skąd mógłbym uzyskać pole \(\displaystyle{ ABD}\),skoro wysokość tego trójkąta nie jest powiązana z niczym w zadaniu?

[piasek101]

Wysokość to np. \(\displaystyle{ (b)}\) - prostopadła do \(\displaystyle{ BD}\).