Wielokąt zawarty w okręgu, czy jest poprawnie?

[fxxn]

Wykazać, że dowolny wielokąt wypukły mieści się całkowicie w okręgu przechodzącym przez pewne trzy kolejne jego wierzchołki.

Pomocnicze fakty:
(1) Jeśli punkt \(\displaystyle{ P}\) leży wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) to \(\displaystyle{ \angle ABC<\angle APC}\).
(2) Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) oraz punkty \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), które leżą odpowiednio wewnątrz i na zewnątrz okręgu opisanego na \(\displaystyle{ ABC}\), ale po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AC}\) co punkt \(\displaystyle{ B}\). Wtedy \(\displaystyle{ \angle AYC<\angle ABC<\angle AXC}\).

Dowód (1):
\(\displaystyle{ \angle ABC=180^{\circ}-(\angle BAC+\angle ACB)<180^{\circ}-(\angle PAC+\angle PCA)=\angle APC.}\)

Dowód (2):
Dla punktu \(\displaystyle{ X}\) istnieje taki punkt \(\displaystyle{ B'}\) leżący na okręgu opisanym na \(\displaystyle{ ABC}\), że \(\displaystyle{ X}\) leży wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ AB'C}\), podobnie dla punktu \(\displaystyle{ Y}\) istnieje taki punkt \(\displaystyle{ B''}\) lężący na tym okręgu, który leży wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ AYC}\), łącząc to z (1) dostajemy tezę.

Przechodzimy do rozwiązania zadania.
Gdyby wielokąt był trójkątem to nie ma czego dowodzić, od tej pory będziemy rozważać wielokąt, który ma przynajmniej 4 wierzchołki.
Okręgiem maksymalnym będziemy nazywali okrąg o największym promieniu przechodzącym przez trzy wierzchołki (niekoniecznie kolejne) wielokąta. Wykażemy, że cały wielokąt zawiera się w odpowiadającym mu okręgu maksymalnym.

Załóżmy najpierw, że w wielokącie o wierzchołkach \(\displaystyle{ A, B, C, D, X_1, X_2,...}\), wierzchołki \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) nie leżą obok siebie oraz okrąg maksymalny przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ D,A,B}\), ale wbrew tezie, \(\displaystyle{ C}\) leży poza okręgiem. Niech półprosta \(\displaystyle{ AC}\) przecina okrąg opisany na \(\displaystyle{ ABC}\) po raz drugi w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Ponieważ \(\displaystyle{ AC}\) była półprostą to punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ C}\) leżą po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AB}\). Nietrudno stwiedzić, że przynajmniej jeden z kątów \(\displaystyle{ \angle APD}\) i \(\displaystyle{ \angle APB}\) jest ostry, gdyby było inaczej to \(\displaystyle{ \angle DPB=\angle APD + \angle APB \ge 180^{\circ}}\), z drugiej strony \(\displaystyle{ \angle DPB+\angle BAD=180^{\circ}}\) więc musiałoby być \(\displaystyle{ \angle BAD\le 0^{\circ}}\) co jest niemożliwe.
Bez straty ogółu załóżmy, że \(\displaystyle{ \angle APB<\angle APD}\). Z (2) wynika, że \(\displaystyle{ \angle ACB<\angle APB < 90^{\circ}}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ \sin\angle ACB < \sin\angle APB \Rightarrow \frac{AB}{2\sin\angle ACB}>\frac{AB}{2\sin\angle APB}}\), więc z tw. sinusów dostajemy \(\displaystyle{ R_{ACB}>R_{APB}=R_{ABD}}\) co jest sprzeczne z początkowym założeniem.

W poprzedniej części pokazaliśmy, że dowolny wielokąt wypukły zawiera się w odpowiadającym mu okręgu maksymalnym, teraz pokażemy, że okrąg ten przechodzi przez trzy kolejne jego wierzchołki. (oznaczenia też będą inne niż w poprzedniej części)
Załóżmy nie wprost, że okrąg maksymalny przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) przy czym wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) nie sąsiaduje, z żadnym wierzchołkiem spośród \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Na podstawie poprzedniej części istnieją więc wierzchołki \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), które leżą w okręgu opisanym na \(\displaystyle{ ABC}\), ale nie w samym trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) oraz po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AB}\) co punkt \(\displaystyle{ C}\), a także po różnych stronach prostej \(\displaystyle{ AC}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ Y}\) leży po tej stronie prostej \(\displaystyle{ AC}\) co punkt \(\displaystyle{ B}\).
Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie takim punktem na okręgu, że \(\displaystyle{ X}\) leży wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ APC}\) i punkt \(\displaystyle{ Q}\) takim, że \(\displaystyle{ Y}\) leży wewnątrz \(\displaystyle{ QBC}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ O}\) środek okręgu opisanego na \(\displaystyle{ ABC}\). Gdyby punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ A}\) leżały po tej samej stronie średnicy \(\displaystyle{ CO}\) to kąt \(\displaystyle{ \angle APC}\) byłby rozwarty, w przeciwnym razie kąt \(\displaystyle{ \angle BQC}\) będzie rozwarty. W obu przypadkach korzystając z (1) dostajemy, że któryś z kątów \(\displaystyle{ \angle AXC}\) i \(\displaystyle{ \angle BYC}\) jest rozwarty. Nie tracąc ogółu załóżmy, że \(\displaystyle{ \angle APC > 90^{\circ}}\), stąd również \(\displaystyle{ \angle AXC>\angle APC>90^{\circ}}\) czyli \(\displaystyle{ \sin\angle AXC<\sin\angle APC}\).
Wreszcie z tw. sinusów: \(\displaystyle{ \frac{AC}{2\sin\angle AXC}>\frac{AC}{2\sin \angle APC} \Rightarrow R_{AXC}>R_{APC}=R_{ABC}}\) i znowu sprzeczność.

[dzialka11o]

Proponuję wgląd do podobnego zadania na str. 24 Delta nr 9 2017 r.
lub w deltami.edu.pl .