Przecięcie dwóch okręgów, współrzędne punktu.

[shnycell]

Witam Wszystkich,
mam taką sytuację:

Dane na rysunku są poglądowe.
Próbuję obliczyć współrzędne punkty przecięcia się dwóch okręgów, z tym że jeden z okręgów ma środek na obwodzie drugiego, liczę to stosując układ równań tych okręgów lecz nie wychodzi to dobrze, mam dane współrzędne środków tych okręgów i długości promieni, z kolei gdy liczę okrąg, który nie ma środka na obwodzie drugiego, wszystko wychodzi tak jak powinno.
Nie wiem dlaczego tak jest.

[kruszewski]

Zauważamy, że w niebieskim okręgu można znaleźć trójkąt prostokątny o bokach mających miary:
\(\displaystyle{ 2r_1 \ i \ r_2}\). Stąd znany jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).

Z prostych funkcji trygonometrycznych znajdujemy wysokości punktów wspólnych okręgów nad prostą do której przynależą środki okręgów i odległość prostej do której punkty te przynależą od środka niebieskiego okręgu.
Przyjmując układ osi współrzędnych (np jak na szkicu) można obliczyć i napisać współrzędne tych wspólnych punktów.

[shnycell]

Genialne spostrzeżenie !
I dzięki temu też znalazłem błąd w swoich obliczeniach, u mnie to zadziałało, że ważna była kolejność równań, pierwsze równanie dotyczy mniejszego okręgu, drugie tego większego, nie wiem czemu tak, może wcześniej robiłem gdzieś jakiś czeski błąd, mimo, że sprawdzałem to kilkukrotnie.
Dziękuję za odpowiedź i pozdrawiam serdecznie

[kerajs]

Przepraszam że się wtrącam, ale w zadaniu jest chyba mała niespójność.
Z rysunku wynika że:
\(\displaystyle{ \left| O_1O_2\right|=r_1=3}\)
jednak ze współrzędnych środków okręgów wychodzi:
\(\displaystyle{ \left| O_1O_2\right|= \sqrt{(6-2)^2+(2-3)^2}= \sqrt{17} \neq 3= r_1}\)

z kolei gdy liczę okrąg, który nie ma środka na obwodzie drugiego, wszystko wychodzi tak jak powinno.
Nie wiem dlaczego tak jest.

Bo rysunek nie jest zgodny z danymi.

[shnycell]

Tak zdaję sobie sprawę, dane są poglądowe na tym rysunku, bo w zadaniu miałem wartości po przecinku, chciałem pokazać przybliżoną sytuację. W sumie to złe podejście. Dzięki za uwagę.

[kruszewski]

Przyjmując układ osi współrzędnych jak na szkicu wyżej zauważamy że współrzędne punktów przecięcią się okręgów są dla punktu \(\displaystyle{ A}\) ( nad osią odciętych)
\(\displaystyle{ \frac{x_A}{r_2}= \frac{r_2}{2r_1} \rightarrow x= \frac{r_2^2}{2r_1}}\)

Zaś \(\displaystyle{ y_A^2 =r_2^2-x_A^2 \rightarrow y_A= \sqrt{ r_2^2-x_A^2 }}\)

Z zasady symetrii osiowej względem osi odciętych potrafimy obliczyć rzędną drugiego punktu wspólnego. ( to "drugi", ujemny, pierwiastek równania kwadratowego na \(\displaystyle{ y_A}\))

[shnycell]

Rewelacja! Dziękuję!