Trapez podzielony na 4 trójkąty

[Trudne]

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć albo wykazać w jaki sposób mając dany dowolny trapez którego przekątne dzielą go na 4 trójkąty i z własności wiedząc ze P2=P4 zapisując wzór na pole trapezu sumując pola trójkątów czyli Ptrapezu=P1+2P4+P3, gdzie P2=P4 dlatego 2P4 mozna to zapisac jako \(\displaystyle{ ( \sqrt{P3}+ \sqrt{P1} )^{2}?}\)

[kerajs]

O- punkt przecięcia się przekątnych trapezu ABCD dzieli wysokość na części x (dolną) i y (górną).
Z podobieństwa trójkątów mam:
\(\displaystyle{ k= \frac{x}{y}= \frac{\left|AO \right| }{\left| CO\right| } =\frac{\left|BO \right| }{\left| DO\right| }}\)
\(\displaystyle{ P_2=P_{AOD}= \frac{1}{2} \left| AO\right| \left| DO\right|\sin \left( \angle AOD\right)=
\frac{1}{2} k\left| CO\right| \left| DO\right|\sin \left( \angle AOD\right) \\
P_4=P_{BOC}= \frac{1}{2} \left| BO\right| \left| CO\right|\sin \left( \angle BOC\right) =
= \frac{1}{2} k\left| DO\right| \left| CO\right|\sin \left( \angle AOD\right) =\\=P_{AOD}=P_2}\)

\(\displaystyle{ ( \sqrt{P_1}+ \sqrt{P_3} )^2=P_1+2 \sqrt{P_1P_3}+P_3=P_{AOB}+2 \sqrt{P_{AOB}P_{COD}} +P_{COD}=...}\)

Spróbujesz dalej sam?

[Trudne]

Nie rozumiem skąd się wzięło \(\displaystyle{ P_2=P_{AOD}= \frac{1}{2} \left| AO\right| \left| DO\right|\sin \left( \angle AOD\right)= \frac{1}{2} k\left| CO\right| \left| DO\right|\sin \left( \angle AOD\right) \\ P_4=P_{BOC}= \frac{1}{2} \left| BO\right| \left| CO\right|\sin \left( \angle BOC\right) = = \frac{1}{2} k\left| DO\right| \left| CO\right|\sin \left( \angle AOD\right) =\\=P_{AOD}=P_2}\)
,że nagle |AO||DO|=k|CO||DO| skoro \(\displaystyle{ k= \frac{x}{y}= \frac{\left|AO \right| }{\left| CO\right| } =\frac{\left|BO \right| }{\left| DO\right| }}\) to |AO|DO| nie powinno się równać |CO|BO|?

[kerajs]

Przykładowy trapez:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-3,0) node[below left] {A} -- (1.5,0) node[below right] {B} -- (1,3) node [right] {C} -- (-0.5,3) node[ left] {D} -- cycle;
\draw [thick,blue,dashed] (-3,0) -- (1,3) ;
\draw [thick,blue,dashed] (1.5,0) -- (-0.5,3) ;
\draw [thick,red,dashed] (0,0) -- (0,2.25) ;
\draw [thick,green,dashed] (0,3) -- (0,2.25) ;
\draw (0.1,2.2)node[right]{O};
\draw (0,1)node[right]{x};
\draw (0,2.7)node[right]{y};
\end{tikzpicture}}\)
z podobieństwa:
\(\displaystyle{ k= \frac{x}{y}= \frac{\left|AO \right| }{\left| CO\right| } =\frac{\left|BO \right| }{\left| DO\right| }}\)
mam:
\(\displaystyle{ \left|AO \right|=k\left|CO \right| \\
\left|BO \right|=k \left|DO \right|}\)
Do policzenia pola trójkąta stosowałem wzór:
\(\displaystyle{ P_{\Delta}= \frac{1}{2}a \cdot b \cdot \sin \left( \angle \left\{ a,b\right\} \right)}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ \angle AOD= \angle BOC= \pi - \angle AOB= \pi - \angle COD}\)
a stąd:
\(\displaystyle{ \sin \left( \angle AOD\right) =\sin \left( \angle BOC\right) =\sin \left( \angle AOB\right) =\sin \left( \angle COD\right)}\)

Czy wyjaśniłem niejasności?

[Trudne]

Aaaa faktycznie dziękuję