Trapez równoramienny i okręgi wpisane i opisane

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
deciver
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 7 maja 2014, o 16:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1 raz

Trapez równoramienny i okręgi wpisane i opisane

Post autor: deciver »

W trapezie równoramienny wpisano okrąg. Oblicz obwód i pole tego trapezu, jeśli jego kąt ostry ma 60 stopni, a promień okręgu opisanego na tym trapezie jest równy 1.



Oznaczyłem ramię trapezu jako x.
Z trójkąta 30, 60, 90 i okręgu wpisanego w trapez mamy:
\(\displaystyle{ 2r=h= \frac{x \sqrt{3} }{2}}\)

Mam układ równań z dwóch trójkątów prostokątnych.
\(\displaystyle{ \begin{cases} (2r-y)^{2}+ ( \frac{x}{4}) ^{2}=1 \\ ( \frac{3x}{4}) ^{2}+ y^{2}=1 \end{cases}}\)

Po odjęciu mamy:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}x^{2} +4r ^{2}-4ry=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}r(r-3y)=0
r=3y
y= \frac{r}{3}

r= \frac{x \sqrt{3} }{4}}\)

Podstawiamy do drugiego równania z układu za y i x r i mamy
\(\displaystyle{ ( \frac{3*4r}{4* \sqrt{3} }) ^{2} + (\frac{r}{3} ) ^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ 3r ^{2} + \frac{r ^{2}}{9}=1}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{3\sqrt{28}}{28 }}\)

Wynik powinien być troszkę inny. Mianowicie \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{21} }{7}}\)
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Trapez równoramienny i okręgi wpisane i opisane

Post autor: SlotaWoj »

Jeśli w trapez \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ l}\), \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ l}\) można wpisać okrąg, to \(\displaystyle{ x+y=2l}\)
deciver
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 7 maja 2014, o 16:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1 raz

Re: Trapez równoramienny i okręgi wpisane i opisane

Post autor: deciver »

Skorzystałem z tego wyznaczając długość górnej podstawy równą \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Trapez równoramienny i okręgi wpisane i opisane

Post autor: SlotaWoj »

deciver pisze:Skorzystałem z tego wyznaczając długość górnej podstawy równą \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)
To jest prawdą, ale tylko dlatego, że \(\displaystyle{ \alpha=60^\circ}\) .

Moje oznaczenia:
  • \(\displaystyle{ x}\) – krótsza (górna) podstawa trapezu,
    \(\displaystyle{ y}\) – dłuższa (dolna) podstawa trapezu,
    \(\displaystyle{ l}\) – bok trapezu,
    \(\displaystyle{ r,\,R}\) – promienie okręgów: wpisanego i opisanego.
  • \(\displaystyle{ 2l=x+y \\
    h=2r=l\sin\alpha \\
    \left(\frac{y-x}{2}\right)^2+h^2=l^2 \\
    {\red{\left(y-\frac{y-x}{2}\right)^2+h^2=\left(2R\right)^2}}}\)
Podstawiając: \(\displaystyle{ \alpha=60^\circ,\ R=1}\) i przekształcając mamy układ równań:
  • \(\displaystyle{ \begin{cases}
    \,3x^2-10xy+3y^2=0 \\
    \,7x^2+14xy+7y^2=64
    \end{cases}}\)
którego rozwiązaniem są: \(\displaystyle{ x=\frac{2\sqrt{7}}{7}}\) i \(\displaystyle{ y=\frac{6\sqrt{7}}{7}}\) , wówczas \(\displaystyle{ r=\frac{x+y}{2}\cdot\sin\alpha=\frac{8\sqrt{7}}{14}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{21}}{7}}\) .

Edit:

Analizując rozwiązanie Decivera uzmysłowiłem sobie, że równanie, które powyżej zaznaczyłem na czerwono nie odpowiada treści zadania, więc jest złe i takie same jest zamieszczone poniżej rozwiązanie i dalsze wywody.

Tym samym, również podane przez Decivera jako poprawne rozwiązanie \(\displaystyle{ r=\frac{2\sqrt{21}}{7}}\), takim nie jest, a poprawne jest to, które uzyskał, tzn. \(\displaystyle{ r=\frac{3\sqrt{28}}{28}=\frac{3\sqrt{7}}{14}}\) .
ODPOWIEDZ