W trapezie równoramienny wpisano okrąg. Oblicz obwód i pole tego trapezu, jeśli jego kąt ostry ma 60 stopni, a promień okręgu opisanego na tym trapezie jest równy 1.
Oznaczyłem ramię trapezu jako x.
Z trójkąta 30, 60, 90 i okręgu wpisanego w trapez mamy:
\(\displaystyle{ 2r=h= \frac{x \sqrt{3} }{2}}\)
Mam układ równań z dwóch trójkątów prostokątnych.
\(\displaystyle{ \begin{cases} (2r-y)^{2}+ ( \frac{x}{4}) ^{2}=1 \\ ( \frac{3x}{4}) ^{2}+ y^{2}=1 \end{cases}}\)
Po odjęciu mamy:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}x^{2} +4r ^{2}-4ry=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}r(r-3y)=0
r=3y
y= \frac{r}{3}
r= \frac{x \sqrt{3} }{4}}\)
Podstawiamy do drugiego równania z układu za y i x r i mamy
\(\displaystyle{ ( \frac{3*4r}{4* \sqrt{3} }) ^{2} + (\frac{r}{3} ) ^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ 3r ^{2} + \frac{r ^{2}}{9}=1}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{3\sqrt{28}}{28 }}\)
Wynik powinien być troszkę inny. Mianowicie \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{21} }{7}}\)
Trapez równoramienny i okręgi wpisane i opisane
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Trapez równoramienny i okręgi wpisane i opisane
Jeśli w trapez \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ l}\), \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ l}\) można wpisać okrąg, to \(\displaystyle{ x+y=2l}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 7 maja 2014, o 16:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
Re: Trapez równoramienny i okręgi wpisane i opisane
Skorzystałem z tego wyznaczając długość górnej podstawy równą \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Trapez równoramienny i okręgi wpisane i opisane
To jest prawdą, ale tylko dlatego, że \(\displaystyle{ \alpha=60^\circ}\) .deciver pisze:Skorzystałem z tego wyznaczając długość górnej podstawy równą \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)
Moje oznaczenia:
- \(\displaystyle{ x}\) – krótsza (górna) podstawa trapezu,
\(\displaystyle{ y}\) – dłuższa (dolna) podstawa trapezu,
\(\displaystyle{ l}\) – bok trapezu,
\(\displaystyle{ r,\,R}\) – promienie okręgów: wpisanego i opisanego.
- \(\displaystyle{ 2l=x+y \\
h=2r=l\sin\alpha \\
\left(\frac{y-x}{2}\right)^2+h^2=l^2 \\
{\red{\left(y-\frac{y-x}{2}\right)^2+h^2=\left(2R\right)^2}}}\)
- \(\displaystyle{ \begin{cases}
\,3x^2-10xy+3y^2=0 \\
\,7x^2+14xy+7y^2=64
\end{cases}}\)
Edit:
Analizując rozwiązanie Decivera uzmysłowiłem sobie, że równanie, które powyżej zaznaczyłem na czerwono nie odpowiada treści zadania, więc jest złe i takie same jest zamieszczone poniżej rozwiązanie i dalsze wywody.
Tym samym, również podane przez Decivera jako poprawne rozwiązanie \(\displaystyle{ r=\frac{2\sqrt{21}}{7}}\), takim nie jest, a poprawne jest to, które uzyskał, tzn. \(\displaystyle{ r=\frac{3\sqrt{28}}{28}=\frac{3\sqrt{7}}{14}}\) .