Równoległość prostych w okręgach stycznych
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
Równoległość prostych w okręgach stycznych
Dwa okręgi są styczne w punkcie S. Przez ten punkt poprowadzono proste KL i MN przecinające pierwszy okrąg w punktach K i M, a drugi w L i N. Udowodnij, że KM jest równoległe do LN. Jeżeli uda się komuś tego dowieść, to czy powinno się rozpatrzeć dwa przypadki?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Równoległość prostych w okręgach stycznych
Można wyróżnić cztery przypadki:
1. Styczność zewnętrzna, równe promienie.
2. Styczność zewnętrzna, różne promienie.
3. Styczność wewnętrzna, równe promienie.
4. Styczność wewnętrzna, różne promienie.
choć nie jest to konieczne.
\(\displaystyle{ \angle KSM=\angle NSL}\)
Istnieje jednokładność o środku w punkcie styczności S i skali k przekształcająca jeden okrąg w drugi dlatego odcinki na prostej będące cięciwami okręgów są proporcjonalne (w skali \(\displaystyle{ \left| k\right|}\) ). A skoro są proporcjonalne to z twierdzenie odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika że KM i LN są równoległe.
1. Styczność zewnętrzna, równe promienie.
2. Styczność zewnętrzna, różne promienie.
3. Styczność wewnętrzna, równe promienie.
4. Styczność wewnętrzna, różne promienie.
choć nie jest to konieczne.
\(\displaystyle{ \angle KSM=\angle NSL}\)
Istnieje jednokładność o środku w punkcie styczności S i skali k przekształcająca jeden okrąg w drugi dlatego odcinki na prostej będące cięciwami okręgów są proporcjonalne (w skali \(\displaystyle{ \left| k\right|}\) ). A skoro są proporcjonalne to z twierdzenie odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika że KM i LN są równoległe.
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
Re: Równoległość prostych w okręgach stycznych
Oznaczyłem kąty wpisane wierzchołkowe o wierzchołku w punkcie styczności okręgów jako \(\displaystyle{ \alpha}\). Udało mi się pokazać podobieństwo 2 trójkątów o bokach nazwijmy je R i R i kącie środkowym pomiędzy nimi \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) w jednym okręgu i trójkąta o bokach r i r i kącie środkowym pomiędzy nimi też \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Tym samym wiem, że podstawy tych trójkątów są proporcjonalne, ale to za mało, żeby były równoległe. Ktoś PORATUJE!
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Równoległość prostych w okręgach stycznych
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ |MS|=|SM|, \ |KS| =|SK|}\)
oraz kątów:
\(\displaystyle{ |\angle KSM| = |\angle NSL|}\)
i to, że promienie okręgów mają się do siebie tak, jak odpowiednie cięciwy do siebie, czyli
\(\displaystyle{ \frac{|SM|}{|SN|} = \frac{|r|}{|R|}}\) (i odwrotnie),
to proporcjonalność wynikająca z tw. Talesa o której pisze wyżej p.kerajs jest widoczna.
W.Kr.