Równoległość prostych w okręgach stycznych

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 389
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 214 razy

Równoległość prostych w okręgach stycznych

Post autor: poetaopole »

Dwa okręgi są styczne w punkcie S. Przez ten punkt poprowadzono proste KL i MN przecinające pierwszy okrąg w punktach K i M, a drugi w L i N. Udowodnij, że KM jest równoległe do LN. Jeżeli uda się komuś tego dowieść, to czy powinno się rozpatrzeć dwa przypadki?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Równoległość prostych w okręgach stycznych

Post autor: kerajs »

Można wyróżnić cztery przypadki:
1. Styczność zewnętrzna, równe promienie.
2. Styczność zewnętrzna, różne promienie.
3. Styczność wewnętrzna, równe promienie.
4. Styczność wewnętrzna, różne promienie.
choć nie jest to konieczne.

\(\displaystyle{ \angle KSM=\angle NSL}\)
Istnieje jednokładność o środku w punkcie styczności S i skali k przekształcająca jeden okrąg w drugi dlatego odcinki na prostej będące cięciwami okręgów są proporcjonalne (w skali \(\displaystyle{ \left| k\right|}\) ). A skoro są proporcjonalne to z twierdzenie odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika że KM i LN są równoległe.
poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 389
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 214 razy

Re: Równoległość prostych w okręgach stycznych

Post autor: poetaopole »

Oznaczyłem kąty wpisane wierzchołkowe o wierzchołku w punkcie styczności okręgów jako \(\displaystyle{ \alpha}\). Udało mi się pokazać podobieństwo 2 trójkątów o bokach nazwijmy je R i R i kącie środkowym pomiędzy nimi \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) w jednym okręgu i trójkąta o bokach r i r i kącie środkowym pomiędzy nimi też \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Tym samym wiem, że podstawy tych trójkątów są proporcjonalne, ale to za mało, żeby były równoległe. Ktoś PORATUJE!
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Równoległość prostych w okręgach stycznych

Post autor: kruszewski »

Ukryta treść:    
Jeżeli zauważyć, że miary odcinków
\(\displaystyle{ |MS|=|SM|, \ |KS| =|SK|}\)
oraz kątów:
\(\displaystyle{ |\angle KSM| = |\angle NSL|}\)
i to, że promienie okręgów mają się do siebie tak, jak odpowiednie cięciwy do siebie, czyli
\(\displaystyle{ \frac{|SM|}{|SN|} = \frac{|r|}{|R|}}\) (i odwrotnie),
to proporcjonalność wynikająca z tw. Talesa o której pisze wyżej p.kerajs jest widoczna.

W.Kr.
ODPOWIEDZ