Część wspólna okręgów

[Ruahyin]

Oblicz pole i obwód części wspólnej okręgów o promieniach 6 których środkami są wierzchołki kwadratu o boku długości 6.

[kerajs]

Clou stanowi narysowanie trójkąta równobocznego którego jeden bok jest bokiem kwadratu, a trzeci wierzchołek leży na przecięciu się łuków.

PS
Sugeruję wpierw wyliczenie pola żółtego obszaru:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\fill[yellow](0,0)--(0,5)--(5,5)--(5,0)--(0,0);
\fill[white] (0,5)arc(90:0:5);
\fill[white] (0,0)arc(180:90:5);
\fill[white] (0,0)--(5,0)--(5,5)--(2.5,2.5)--(0,5)--(0,0);
\draw (0,5)arc(180:270:5);
\draw (0,5)arc(90:0:5);
\draw (0,0)arc(270:360:5);
\draw (0,0)arc(180:90:5);
\draw (0,0)--(0,5)--(5,5)--(5,0)--(0,0);
\draw [orange](0,0)--(2.5,4.33)--(5,0)--(0,0);
\end{tikzpicture}}\)

a potem pola obszaru czerwonego:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\fill[yellow](0,0)--(0,5)--(5,5)--(5,0)--(0,0);
\fill[red](0,5)arc(180:270:5);
\fill[red] (0,5)arc(90:0:5);
\fill[white] (0,0)arc(180:90:5);
\fill[white] (0,0)--(5,0)--(5,5)--(0,0);
\draw (0,5)arc(180:270:5);
\draw (0,5)arc(90:0:5);
\draw (0,0)arc(270:360:5);
\draw (0,0)arc(180:90:5);
\draw (0,0)--(0,5)--(5,5)--(5,0)--(0,0);
\end{tikzpicture}}\)

[a4karo]

Część wspólna dwóch okręgów to albo zbiór pusty, albo jeden punkt, albo dwa punktu albo okrąg. W każdym przypadku pole jest równe zero.

[kerajs]

Faktycznie, a ja !@%#, traktowałem to jak koła.


PS
Gdyby to były koła, to obwód byłby najłatwiejszy do policzenia :

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw [dashed](0,5)arc(180:270:5);
\draw [dashed] (0,5)arc(90:0:5);
\draw[dashed] (0,0)arc(270:360:5);
\draw [dashed](0,0)arc(180:90:5);
\draw[blue] (2.5,4.33)arc(120:150:5);
\draw[blue] (2.5,4.33)arc(120:150:5);
\draw [orange](2.5,4.33)--(5,0)--(0.67,2.5);
\draw [orange][dashed](2.5,4.33)--(0,0);
\draw [dashed](0,0)--(0,5)--(5,5)--(5,0)--(0,0);
\draw [orange](0,0)--(5,0)--(5,5);
\end{tikzpicture}}\)

Wyniki:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ S_1}\) - żółte pole
\(\displaystyle{ S_2}\) - czerwone pole
\(\displaystyle{ S}\) - szukane pole
\(\displaystyle{ S_1=a^2- \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}-2 \cdot \frac{1}{12} \pi a^2\\
S_2=a^2- \frac{1}{4} \pi a^2-2S_1\\
S=a^2-4S_1-4S_2\\
Obw_S=4 \cdot \frac{1}{12}2 \pi a}\)