Czworokąt wpisany w okrąg

Hayran · Post autor: **Hayran** » 3 maja 2017, o 13:52

Wykaż, że jeśli przekątne czworokąta wpisanego w okrąg są prostopadłe, to suma kwadratów długości jego przeciwległych boków równa jest kwadratowi długości średnicy.

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 3 maja 2017, o 16:34

\(\displaystyle{ P}\) - punkt przecięcia przekątnych.

Z twierdzenia sinusów i z Pitagorasa \(\displaystyle{ d^2=\frac{CD^2}{\sin^2\alpha}=\frac{CP^2+DP^2}{\sin^2\alpha}=BC^2+AD^2}\)

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 3 maja 2017, o 17:37

Aż się prosi by napisać PATRZ!
W.Kr.

Ukryta treść:

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 3 maja 2017, o 18:17

kruszewski, w jaki sposób to wynika z rysunku? Przecież przekątna czworokąta nie musi być średnicą.

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 4 maja 2017, o 03:30

Trójkąt \(\displaystyle{ AA'D}\) jest równoramiennym , punkt \(\displaystyle{ P}\) połowiącym jego podstawę \(\displaystyle{ AA'}\) stąd \(\displaystyle{ DC'}\) jest średnicą okręgu.
Kąty \(\displaystyle{ \alpha \ i \ \beta}\)oparte są na jednakowych cięciwach, zatem na jednakowych łukach są równe , stąd przy równości trójkątów bok wspólny DC' jest średnicą okręgu w który wpisano czworoboku \(\displaystyle{ ABCD}\).

Pokazanie prostopadłości miało zwrócić uwagę na to, że dla deltoidu powstałego wpisanego w ten okręg a powstałego z pary przeciwległych sobie boków czworokąta przekątne muszą był również prostopadłe do siebie.

Ukryta treść: