Okrąg opisany na trapezie - oblicz promień

[RobinsonCruzoe]

Siedzę z siostrą od godziny nad zadaniem. Proszę o pomoc. Zadanie z książki przygotowującej do matury rozszerzonej z matematyki. Treść zadania: Na czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\) opisano okrąg o środku \(\displaystyle{ S}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ AC = AB}\) oraz \(\displaystyle{ DC = 5, AD = 4}\) i \(\displaystyle{ BD = 6}\) oblicz promień okręgu opisanego na tym czworokącie. Bardzo miło widziane rozwiązanie z jakimś rysunkiem, albo chociaż z w miare szczegółowym wyjaśnieniem. Z góry dziękuję za pomoc.

[kmarciniak1]

Możesz podać odpowiedź do tego zadania?
Bo wynik który mi wyszedł coś mi się nie podoba.

[RobinsonCruzoe]

Wynik to: \(\displaystyle{ R = \frac{4\sqrt{322}}{21}}\)

[macik1423]

Oznacz sobie \(\displaystyle{ |AB|=a}\), kąt na przeciwko \(\displaystyle{ AB}\) jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\). Zatem kąt środkowy \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Stąd z twierdzenia kosinusów \(\displaystyle{ R=\frac{a}{2\sin\alpha}}\). Potem spróbuj użyć dwa razy tw. kosinusów tak żeby pojawił się kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ a}\).

[kmarciniak1]

W końcu mi wyszło...

No więc tak zaczynam od

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Ptolemeusza

Aby \(\displaystyle{ x=\left| AB\right|=\left| AC\right|}\) uzależnić od \(\displaystyle{ y}\)

\(\displaystyle{ 6x=5x+4y}\)
\(\displaystyle{ x=4y}\)


Teraz porónujemy pola korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ p= \frac{abc}{4R}}\)
\(\displaystyle{ P _{BCD}+P _{ABD}=P _{ACD}+P _{ABC}}\)
\(\displaystyle{ \frac{30y}{4R}+ \frac{96y}{4R}= \frac{80y}{4R}+ \frac{16y ^{3} }{4R}}\)
\(\displaystyle{ 126y=80y+16y ^{3}}\)
I po rozwiązaniu tego
\(\displaystyle{ y= \frac{ \sqrt{46} }{4}}\)

Teraz postarałem się jakoś wyłuskać pole jednego z trójkątów .Ja obliczyłem\(\displaystyle{ P _{ABC}}\)
\(\displaystyle{ \alpha =\angle ACB}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{63} }{8}}\)

\(\displaystyle{ P _{ABC}=2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{46} }{8} \cdot \sqrt{46} \cdot \frac{ \sqrt{63} }{8}= \frac{46 \sqrt{63} }{64}}\)

\(\displaystyle{ R= \frac{abc}{4P}= \frac{ \frac{46 \sqrt{46} }{4} }{ \frac{4 \cdot 46 \sqrt{63} }{64} } }= \frac{4 \sqrt{46} }{ \sqrt{63} }= \frac{4 \sqrt{46 \cdot 7 \cdot 9} }{63} = \frac{4 \sqrt{322} }{21}}\)

Uff przepisane xD

Jak masz jakieś pytania to wal śmiało
Oczywiście bardzo możliwe, że można zrobić jakoś inaczej i prościej ale ja nie umiem

[macik1423]

Bez twierdzenia Ptolemeusza, dokończę swoje rozwiązanie. Układasz tw. kosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ADB}\): \(\displaystyle{ a^{2}=36+16-2\cdot 6 \cdot 4 \cos\alpha}\) i dla trójkąta \(\displaystyle{ ADC}\): \(\displaystyle{ a^{2}=25+16-2 \cdot 4 \cdot 5 \cos(180^{\circ}-\alpha)}\), stąd \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{1}{8}}\). Potem wyznaczyć \(\displaystyle{ \sin\alpha}\) z jedynki trygonometrycznej, \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{\sqrt{63}}{8}}\), wyznaczyć \(\displaystyle{ a=\sqrt{46}}\) wstawić do \(\displaystyle{ R=\frac{a}{2\sin\alpha}}\).

[MrCommando]

EDIT: O, akurat podczas gdy pisałem, to już ktoś dodał...

Niech \(\displaystyle{ |AC|=|AB|=x}\) oraz \(\displaystyle{ |BC|=y}\). Bezpośrednio z twierdzenia Ptolemeusza mamy równość \(\displaystyle{ |AB|\cdot|CD|+|AD|\cdot|BC|=|AC|\cdot|BC|}\), czyli po podstawieniu mamy \(\displaystyle{ 4y+5x=6x}\), a stąd wynika, że \(\displaystyle{ x=4y}\). Niech \(\displaystyle{ \angle ACB= \alpha}\). Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) mamy:\(\displaystyle{ |AC|^2+|BC|^2 -2|AC||BC|\cos \alpha = |AB|^2}\), czyli \(\displaystyle{ 16y^2+y^2 - 8y^2 \cos \alpha = 16y^2}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{8}}\). Ponieważ kąty \(\displaystyle{ \angle ADB}\) i \(\displaystyle{ ACB}\) są oparte na tym samym łuku, to są równe, czyli \(\displaystyle{ \angle ADB = \alpha}\) Po zastosowaniu twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ADB}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt{46}}{4}}\). Z jedynki trygonometrycznej możemy obliczyć, że \(\displaystyle{ \sin \alpha=\frac{\sqrt{63}}{8}}\).

Dany okrąg jest tym samym okręgiem, który jest opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), zatem wystarczy znaleźć promień okręgu opisanego na tymże trójkącie. Wykorzystamy wzór \(\displaystyle{ R=\frac{abc}{4P}}\). Pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) można policzyć ze znanego wzoru: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot y\cdot 4y \cdot \sin \alpha}\). Mamy \(\displaystyle{ P=\frac{23\sqrt{63}}{32}}\). Zatem po wstawieniu do wzoru odpowiednich danych mamy \(\displaystyle{ R=\frac{4\sqrt{322}}{21}}\)

[RobinsonCruzoe]

Bardzo dziękuję za oba rozwiązania zarówno to z Ptolemeuszem kmarciniak1 jak i rozwiązanie macik1423 tyle, że w rozwiązaniu macik1423 nie bardzo rozumiem skąd w tym momencie ADC: \(\displaystyle{ a^{2}=25+16-2 \cdot 4 \cdot 5 \cos(180^{\circ}-\alpha)}\) wzięło Ci się \(\displaystyle{ cos(180^{\circ}- \alpha )}\)?

[macik1423]

Trzeba skorzystać z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i kątach wpisanych opartych na tym samym łuku, jeśli chcesz to wstawię rysunek.