Podobieństwo trójkątów

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
index
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 8 sty 2017, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Podobieństwo trójkątów

Post autor: index »

Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na zewnątrz okręgu \(\displaystyle{ o}\). Rożne proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ P}\) są styczne do okręgu \(\displaystyle{ o}\) w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\). Prosta \(\displaystyle{ m}\), przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ P}\), przecina okrąg \(\displaystyle{ o}\) w punktach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ AB \cdot CD = BC \cdot DA}\)
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Podobieństwo trójkątów

Post autor: MrCommando »

Zauważ, że trójkąty \(\displaystyle{ ADP}\) i \(\displaystyle{ ABP}\) oraz \(\displaystyle{ DCP}\) i \(\displaystyle{ BCP}\) są podobne (uzasadnienie tego zostawiam Ci jako proste ćwiczenie). Na mocy tych podobieństw możemy stwierdzić, że \(\displaystyle{ \frac{|AD|}{|DP|}=\frac{|AB|}{|AP|}}\) oraz, że \(\displaystyle{ \frac{|DC|}{|DP|}=\frac{|BC|}{|AP|}}\). Wystarczy teraz podzielić te równości stronami, a następnie, to co otrzymamy pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ |BC|\cdot|DC|}\), aby otrzymać tezę.
ODPOWIEDZ