Wykaż, że na czworokącie można opisać okrąg.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
werix7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 27 mar 2014, o 17:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Wykaż, że na czworokącie można opisać okrąg.

Post autor: werix7 »

Przez punkt \(\displaystyle{ S}\) poprowadzono dwie proste, które przecięły okrąg w punktach \(\displaystyle{ A, A_1}\), oraz \(\displaystyle{ B, B_1}\) jak na rysunku. Punkty \(\displaystyle{ P, P_1, R, R_1}\) oznaczają odpowiednio środki odcinków \(\displaystyle{ SA, SA_1, SB, SB_1}\). Wykaż, że na czworokącie \(\displaystyle{ PRP_1R_1}\) można opisać okrąg.

Ostatnio zmieniony 14 kwie 2017, o 21:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj indeksów dolnych.
Hayran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 26 paź 2016, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 11 razy

Wykaż, że na czworokącie można opisać okrąg.

Post autor: Hayran »

Zauważ, że czworokąt \(\displaystyle{ PRP_{1}R_{1}}\) ma takie same kąty jak czworokąt \(\displaystyle{ ABA_{1}B_{1}}\) (co wynika z twierdzenia Talesa(np.:\(\displaystyle{ PR||AB}\))). Mamy więc \(\displaystyle{ \angle RPR_{1}+\angle RP_{1}R_{1}=\angle BAB_{1}+\angle BA_{1}B_{1}=180^{o}}\), co kończy dowód-- 14 kwi 2017, o 15:21 --Można też rozważyć jednokładność o środku w punkcie \(\displaystyle{ S}\) i skali \(\displaystyle{ k=\frac{1}{2}}\). Przekształca ona czworokąt \(\displaystyle{ ABA_{1}B_{1}}\) na \(\displaystyle{ PRP_{1}R_{1}}\). Przeprowadza więc ona okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) opisany na \(\displaystyle{ ABA_{1}B_{1}}\) na \(\displaystyle{ \omega '}\) opisany na \(\displaystyle{ PRP_{1}R_{1}}\)
ODPOWIEDZ