Mamy prostokąty zbudowane na ramionach trókąta...

[Stefaniak1916]

Treść zadania:
Mamy trojkat \(\displaystyle{ ABC}\). Na boku \(\displaystyle{ BC}\) zbudowano taki prostokąt \(\displaystyle{ BCDE}\), że \(\displaystyle{ CD=AC}\), natomiast na boku \(\displaystyle{ AC}\) trojkąta \(\displaystyle{ ABC}\) zbudowano taki prostokąt \(\displaystyle{ ACFG}\), że \(\displaystyle{ FC=BC}\). Na podstawie \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) leży taki punkt \(\displaystyle{ H}\), że dzieli on postawę \(\displaystyle{ AB}\) na połowy. Odcinek \(\displaystyle{ CH}\) jest więc środkową tego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzoną z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ CH= \frac{1}{2} \cdot FD}\).

Witam, serdecznie proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

[Hayran]

Na początek wskazówka: Niech \(\displaystyle{ C'}\) oznacza punkt symetryczny do \(\displaystyle{ C}\) względem \(\displaystyle{ H}\). Teraz zaznacz odcinki równych długości i poszukaj trójkątów przystających.

A oto 'pełne' rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Mamy:
1. \(\displaystyle{ BC=CF}\)
2. \(\displaystyle{ BC'=AC=CD}\)
3. \(\displaystyle{ \angle CBC'=\angle CBA+ \angle C'BA=\angle CBA+ \angle BAC=180^o-\angle ACB=360^o-90^o-90^o- \angle ACB=360^o-\angle ACF-\angle BCD-\angle ACB=\angle FCD}\)

więc trójkąty \(\displaystyle{ CBC'}\) i \(\displaystyle{ FCD}\) są przystające (bok-kąt-bok).
Mamy więc \(\displaystyle{ FD=CC'=2\cdot CH}\), co należało wykazać.

[Stefaniak1916]

Dziękuję serdecznie za wskazówki.

[Larsonik]

Inne rozwiązanie:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \angle FCD = 180^o - \angle ACB}\), więc wybierzmy punkt \(\displaystyle{ M}\) taki, że \(\displaystyle{ \angle DCH = \angle ACB}\). Wówczas trójkąt \(\displaystyle{ DCM}\) przystaje do trójkąta \(\displaystyle{ ACB}\) (BKB). Ponadto punkty \(\displaystyle{ FCM}\) są współliniowe. Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ DM}\). Mamy więc \(\displaystyle{ FD = 2 CP = 2 CH}\) (odcinek \(\displaystyle{ CP}\) łączy środki boków trójkąta \(\displaystyle{ FDM}\)).