Trójkąt na okręgu a trapez na okręgu.

[jakub415]

Witam. Mamy sytuację:

Zastanawiam się czy na takim trapezie (to znaczy, kiedy będziemy mieli w nim zawarty trójkąt prostokątny w takim położeniu) można zawsze opisać okrąg?
Na pewno można na trójkącie ACB, wtedy AB będzie średnicą okręgu. Ale czy na całym trapezie?
Jeśli tak, to proszę o interpretację dlaczego, bo nie mogę sobie z tym poradzić.

Pozdrawiam

[Chewbacca97]

Nie. Okrąg można opisać tylko na trapezie równoramiennym.

[Rafsaf]

Sumy kątów przy ramionach mają łącznie zawsze \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\), więc \(\displaystyle{ DCA=30^{\circ}}\)

Aby był spełniony warunek na opisanie okręgu na czworokącie, suma przeciwległych kątów musiałaby dawać po \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\)

Sprawdzamy.

\(\displaystyle{ CBA + ADC=180 ^{\circ} \Leftrightarrow ADC=120^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ DAB + DCB=180 ^{\circ} \Leftrightarrow DAC=30^{\circ}}\)

Sprawdzamy czy to prawda pamiętając o warunku każdego trapezu podanego wyżej

\(\displaystyle{ DAB+ADC=180^{\circ} \\
120+30+30=180^{\circ}}\)
Prawda

Zdanie prawdziwe, czyli da się opisać okrąg na tym trapezie.
Warunek jest taki, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} DAC=30^{\circ} \\ ADC=120^{\circ} \end{cases}}\)

Jeśli kąty będą inne, trapez nie będzie równoramienny i nie da rady na nim opisać okręgu

Edit:
Dopiero po jakimś czasie zauważyłem że długość boku \(\displaystyle{ AD}\) wcale nie jest jakaś konkretna, równie dobrze może być to jakikolwiek trapez dla przykładu prostokątny, wtedy nie opiszesz na nim okręgu.

[Chewbacca97]

Jest równoramienny, bo przyjąłeś \(\displaystyle{ ADC=120^{\circ}}\). Co się stanie, gdy kąt \(\displaystyle{ ADC}\) będzie inny? Wydaje mi się, że punt \(\displaystyle{ D}\) można dowolnie przesuwać po prostej \(\displaystyle{ CD}\). I tylko w dwóch przypadkach figura będzie wpisana w okrąg: 1. \(\displaystyle{ D=C}\) lub 2. kiedy trapez będzie równoramienny.

[Rafsaf]

Poprawiłem. Zapędziłem się.