Czworokąt wpisany w okrąg

[MalinaZMelonami]

Jak sprawdzić czy czworokąt można wpisać w okrąg, jeżeli znamy tylko długości boków?

[kerajs]

Nie można tego zrobić. Przykładowo na czworokącie o równych bokach można opisać okrąg jeżeli jest on kwadratem, ale nie da się tego zrobić dla rombu.

[MalinaZMelonami]

A jeżeli mam czworokąt o bokach \(\displaystyle{ a, b, c, d}\), czy można udowodnić, że dla takich boków nie da się opisać na nim okręgu?

[piasek101]

To nie są konkretne dane - więc nie.

[MalinaZMelonami]

A jeżeli byłyby konkretne?

[piasek101]

To je podaj.

[kerajs]

A jeżeli mam czworokąt o bokach \(\displaystyle{ a, b, c, d}\), czy można udowodnić, że dla takich boków nie da się opisać na nim okręgu?

Tu jest źle postawione pytanie gdyż dla boków a,b,c,d (spełniających warunek że najdłuższy z nich jest mniejszy od sumy pozostałych boków) jest nieskończenie wiele czworokątów (sam się możesz o tym łatwo przekonać np: biorąc rurkę do picia napojów, zginając ją w czterech miejscach, wsadzając koniec rurki do drugiego końca i dowolnie wyginając leżący płasko roboczy czworokąt).
Wśród nich istnieje i taki czworobok wypukły na którym okrąg opisać można:
\(\displaystyle{ \cos \left\{ \angle \left( a,b\right) \right\}= \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}}\)

[PoweredDragon]

W zasadzie to są jakieś warunki.

Jeśli pole tego czworokąta

\(\displaystyle{ P = \sqrt{\frac{(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)}{16}}}\), to na czworokącie można opisać okrąg

Jeśli e i f to długości przekątnych, zaś a i c oraz b i d to boki naprzeciwległe, to

\(\displaystyle{ ef = ac+bd \Leftrightarrow}\) na czworokącie można opisać okrąg

No cóż; takiego warunku bez żadnych dodatkowych boków (jak chociażby kształt czworokąta) raczej nie ma

[a4karo]

A jeżeli byłyby konkretne?

Na czworokącie o bokach \(\displaystyle{ 1,1,1,1}\) można opisać czworokąt tylko wtedy, gdy jest kwadratem

Załóżmy, że na czworokąta o bokach \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) da się opisac okrąg. Wtedy wystarczy chwycić go za dwa przeciwległe wierzchołki troche je rozciągnąć, i juz sie na tym okregu opisac nie da (bo zmieni sie suma dwóch przeciwległych kątów.

Sta wniosek że podanie wyłącznie długości boków nie wystarczy do stwierdzenia czy się da, czy nie.